Упр.156 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Исследуем. а) При каких значениях а множество решений неравенства ((х + 5)(х — 3))/(х-а)^2 > 0 состоит из трёх интервалов?
б) При каких значениях а множество решений неравенства ((х + 5)(х — 3))/(х-а)^2 < 0 состоит из одного интервала? из двух интервалов?

Подробный ответ

Рассмотрим знак дроби

$$\frac{(x+5)(x-3)}{(x-a)^2}.$$

Так как $$ (x-a)^2>0 $$ при $$x\ne a,$$ то знак дроби определяется только числителем $$ (x+5)(x-3). $$

Нули числителя: $$x=-5$$ и $$x=3.$$

Тогда:

при $$\frac{(x+5)(x-3)}{(x-a)^2}>0$$ решение зависит от того, попадает ли точка $$x=a$$ в промежуток между корнями или вне его;
при $$\frac{(x+5)(x-3)}{(x-a)^2}<0$$ аналогично учитывается исключение точки $$x=a.$$

а) Для неравенства

$$\frac{(x+5)(x-3)}{(x-a)^2}>0$$

множество решений состоит из трёх интервалов, если точка $$a$$ лежит вне отрезка $$[-5;3].$$

Если $$a=-5$$ или $$a=3,$$ то одна из граничных точек совпадает с точкой разрыва, и решение распадается на два интервала.

Если $$-5<a<3,$$ то точка $$a$$ делит промежуток между корнями на две части, и решение состоит из двух интервалов.

Значит, три интервала получаются при

$$a\in(-\infty;-5)\cup(3;+\infty).$$

б) Для неравенства

$$\frac{(x+5)(x-3)}{(x-a)^2}<0$$

решение состоит: