Упр.155 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) ((x+1)^2 (x-2))/(x+3)^2 > 0
б) ((x-1)^2 (x+2)^2)/(x+3) < 0
в) ((x+1)^3 (x-2))/(x-3)^2 < 0
г) ((x+1) (x+2)^3)/(x+3) < 0
д) ((x-1)^2 (x-3))/(x+3) > 0
е) ((x-2)^2 (x+4))/(x-3) < 0
а) $$\frac{(x+1)^2(x-2)}{(x+3)^2}>0$$
Так как $$ (x+1)^2 \ge 0 $$ и $$ (x+3)^2>0 $$ при $$x\ne -3$$, знак дроби определяется множителем $$x-2$$. Для положительности нужно
$$x-2>0,\quad x\ne -1,\quad x\ne -3.$$
Следовательно, $$x\in(2;+\infty).$$
б) $$\frac{(x-1)^2(x+2)^2}{x+3}<0$$
Числитель неотрицателен и обращается в нуль при $$x=1$$ и $$x=-2$$. Чтобы дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным:
$$x+3<0,\quad x\ne 1,\quad x\ne -2.$$
Следовательно, $$x\in(-\infty;-3).$$
в) $$\frac{(x+1)^3(x-2)}{(x-3)^2}<0$$
Так как $$ (x-3)^2>0 $$ при $$x\ne 3$$, знак дроби определяется произведением $$ (x+1)^3(x-2) $$, то есть выражением $$ (x+1)(x-2) $$.
Решаем неравенство:
$$ (x+1)(x-2)<0 $$
Отсюда
$$-1<x<2,\quad x\ne 3.$$
Следовательно, $$x\in(-1;2).$$
г) $$\frac{(x+1)(x+2)^3}{x+3}<0$$
Знак дроби определяется выражением $$\frac{(x+1)(x+2)}{x+3}$$, так как степень 3 нечётная.
Критические точки: $$x=-3,\,-2,\,-1.$$
По знакам на промежутках получаем:
$$x\in(-\infty;-3)\cup(-2;-1).$$
д) $$\frac{(x-1)^2(x-3)}{x+3}>0$$
Так как $$ (x-1)^2\ge 0 $$ и не влияет на знак, знак дроби определяется выражением $$\frac{x-3}{x+3}$$.
Рассматриваем точки $$x=-3,\;1,\;3.$$
Положительные значения получаем при
$$x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty).$$
е) $$\frac{(x-2)^2(x+4)}{x-3}<0$$
Так как $$ (x-2)^2\ge 0 $$, знак дроби определяется выражением $$\frac{x+4}{x-3}$$.
Критические точки: $$x=-4,\;2,\;3.$$
Тогда
$$x\in(-4;2)\cup(2;4).$$
Ответ
а) $$x\in(2;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;-3)$$; в) $$x\in(-1;2)$$; г) $$x\in(-\infty;-3)\cup(-2;-1)$$; д) $$x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$; е) $$x\in(-4;2)\cup(2;4)$$.
