Упр.155 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) $$\frac{(x+1)^2(x-2)}{(x+3)^2}>0$$
б) $$\frac{(x-1)^2(x+2)^2}{x+3}<0$$
в) $$\frac{(x+1)^3(x-2)}{(x-3)^2}<0$$
г) $$\frac{(x+1)(x+2)^3}{x+3}<0$$
д) $$\frac{(x-1)^2(x-3)}{x+3}>0$$
е) $$\frac{(x-2)^2(x+4)}{x-3}<0$$
а) $$\frac{(x+1)^2(x-2)}{(x+3)^2}>0$$
Так как $$(x+1)^2 \ge 0$$ и $$(x+3)^2>0$$ при $$x\ne -3$$, знак дроби определяется множителем $$x-2$$. Для положительности нужно
$$x-2>0,\quad x\ne -1,\quad x\ne -3.$$
Следовательно, $$x\in(2;+\infty).$$
б) $$\frac{(x-1)^2(x+2)^2}{x+3}<0$$
Числитель неотрицателен и обращается в нуль при $$x=1$$ и $$x=-2$$. Чтобы дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным:
$$x+3<0,\quad x\ne 1,\quad x\ne -2.$$
Следовательно, $$x\in(-\infty;-3).$$
в) $$\frac{(x+1)^3(x-2)}{(x-3)^2}<0$$
Так как $$(x-3)^2>0$$ при $$x\ne 3$$, знак дроби определяется произведением $$(x+1)^3(x-2)$$, то есть выражением $$(x+1)(x-2)$$.
Решаем неравенство:
$$(x+1)(x-2)<0$$
Отсюда
$$-1<x<2,\quad x\ne 3.$$
Следовательно, $$x\in(-1;2).$$
г) $$\frac{(x+1)(x+2)^3}{x+3}<0$$
Знак дроби определяется выражением $$\frac{(x+1)(x+2)}{x+3}$$, так как степень 3 нечётная.
Критические точки: $$x=-3,\,-2,\,-1.$$
По знакам на промежутках получаем:
$$x\in(-\infty;-3)\cup(-2;-1).$$
д) $$\frac{(x-1)^2(x-3)}{x+3}>0$$
Так как $$(x-1)^2\ge 0$$ и не влияет на знак, знак дроби определяется выражением $$\frac{x-3}{x+3}$$.
Рассматриваем точки $$x=-3,\;1,\;3.$$
Положительные значения получаем при
$$x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty).$$
е) $$\frac{(x-2)^2(x+4)}{x-3}<0$$
Так как $$(x-2)^2\ge 0$$, знак дроби определяется выражением $$\frac{x+4}{x-3}$$.
Критические точки: $$x=-4,\;2,\;3.$$
Тогда
$$x\in(-4;2)\cup(2;4).$$
Ответ
а) $$x\in(2;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;-3)$$; в) $$x\in(-1;2)$$; г) $$x\in(-\infty;-3)\cup(-2;-1)$$; д) $$x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$; е) $$x\in(-4;2)\cup(2;4)$$.
