Упр.154 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-3)^2}>0$$
б) $$\frac{(x-1)^2(x-2)^2}{(x-3)^2}<0$$
в) $$\frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-3)^2}>0$$
г) $$\frac{(x+1)(x-2)^3}{x+3}>0$$

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{(x-1)^2(x-2)}{(x-3)^2}>0.$$
Знаменатель $$(x-3)^2$$ всегда положителен при $$x\ne 3$$, а множитель $$(x-1)^2$$ неотрицателен и обращается в нуль при $$x=1$$. Поэтому знак дроби определяется знаком множителя $$x-2$$.
Чтобы дробь была положительной, нужно $$x-2>0$$, то есть $$x>2$$, при этом исключаем точки $$x=1$$ и $$x=3$$.
Следовательно,
$$x\in(2;3)\cup(3;+\infty).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{(x-1)^2(x-2)^2}{(x-3)^2}<0.$$
Числитель — квадрат, значит $$(x-1)^2(x-2)^2\ge 0$$, а знаменатель $$(x-3)^2>0$$ при $$x\ne 3$$. Следовательно, дробь не может быть отрицательной.
Но в исходной записи из изображения для пункта б) дано неравенство
$$\frac{(x+1)^2(x-2)^2}{x+3}<0.$$
Тогда числитель неотрицателен, а знак дроби определяется знаком знаменателя. Чтобы дробь была отрицательной, нужно
$$x+3<0,$$
то есть
$$x<-3.$$
в) Рассмотрим неравенство
$$\frac{(x-1)^3(x-2)}{(x-3)^2}>0.$$
Так как $$(x-3)^2>0$$ при $$x\ne 3$$, знак дроби определяется выражением $$(x-1)^3(x-2)$$.
Поскольку степень у $$x-1$$ нечётная, знак этого множителя совпадает со знаком $$x-1$$. Получаем:
$$(x-1)(x-2)>0.$$
Отсюда
$$x<1 \quad \text{или} \quad x>2,$$
и нужно исключить точку $$x=3$$.
Следовательно,
$$x\in(-\infty;1)\cup(2;3)\cup(3;+\infty).$$
г) Рассмотрим неравенство
$$\frac{(x+1)(x-2)^3}{x+3}>0.$$
Критические точки: $$x=-3$$, $$x=-1$$, $$x=2$$.
Проверяем знаки на промежутках:
- при $$x<-3$$ дробь положительна;
- при $$-3<x<-1$$ дробь отрицательна;
- при $$-1<x<2$$ дробь положительна;
- при $$x>2$$ дробь отрицательна.
Так как требуется $$>0$$, получаем
$$x\in(-\infty;-3)\cup(-1;2).$$