Упр.153 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) (x^2-6x+4)/(x-1) > 0
б) (x^2+6x+6)/(x+2) < 0 в) (x^2-5)/(2x^2-3x-2) < 0 г) 3-x^2/(3x^2-4x-1) > 0

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{x^2-6x+4}{x-1}>0.$$
Найдём корни числителя:
$$x^2-6x+4=0,$$
$$D=36-16=20,$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{20}}{2}=3\pm\sqrt5.$$
Тогда
$$\frac{(x-(3-\sqrt5))(x-(3+\sqrt5))}{x-1}>0.$$
Критические точки: $$3-\sqrt5,\ 1,\ 3+\sqrt5.$$ По знакам на промежутках получаем:
$$x\in(3-\sqrt5;1)\cup(3+\sqrt5;+\infty).$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{x^2+6x+6}{x+2}<0.$$
Найдём корни числителя:
$$x^2+6x+6=0,$$
$$D=36-24=12,$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{12}}{2}=-3\pm\sqrt3.$$
Тогда
$$\frac{(x-(-3-\sqrt3))(x-(-3+\sqrt3))}{x+2}<0.$$
Критические точки: $$-3-\sqrt3,\ -2,\ -3+\sqrt3.$$ По знакам на промежутках:
$$x\in(-\infty;-3-\sqrt3)\cup(-2;-3+\sqrt3).$$
в) Рассмотрим неравенство
$$\frac{x^2-5}{2x^2-3x-2}<0.$$
Числитель обращается в нуль при
$$x^2-5=0,\qquad x=\pm\sqrt5.$$
Знаменатель:
$$2x^2-3x-2=0,$$
$$D=9+16=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm5}{4},\qquad x_1=2,\ x_2=-\frac12.$$
Тогда
$$\frac{(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)}{(2x+1)(x-2)}<0.$$
По знакам на промежутках получаем:
$$x\in(-\sqrt5;-\tfrac12)\cup(2;\sqrt5).$$
г) Рассмотрим неравенство
$$\frac{3-x^2}{3x^2-4x-1}>0.$$
Числитель:
$$3-x^2=(\sqrt3-x)(\sqrt3+x).$$
Знаменатель:
$$3x^2-4x-1=0,$$
$$D=16+12=28,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{2\pm\sqrt7}{3}.$$
Тогда
$$\frac{(\sqrt3-x)(\sqrt3+x)}{\left(x-\frac{2-\sqrt7}{3}\right)\left(x-\frac{2+\sqrt7}{3}\right)}>0.$$
По знакам на промежутках:
$$x\in\left(-\sqrt3;\frac{2-\sqrt7}{3}\right)\cup\left(\frac{2+\sqrt7}{3};\sqrt3\right).$$