Упр.150 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- а) $$\frac{x^2-x+2}{x^2-7x+6}>0$$; б) $$\frac{x^2+4x-21}{x^2-2x+5}<0$$; в) $$\frac{x^2-3}{7x^2+3x+2}>0$$; г) $$\frac{4x^2+5x+3}{5-x^2}<0$$
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{x^2-x+2}{x^2-7x+6}<0.$$
Числитель $$x^2-x+2$$ всегда положителен, так как
$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 2=1-8=-7<0.$$
Значит, дробь будет отрицательной тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:
$$x^2-7x+6=(x-1)(x-6).$$
Тогда
$$(x-1)(x-6)<0,$$
откуда
$$1<x<6.$$
б) Рассмотрим неравенство
$$\frac{x^2+4x-21}{x^2-2x+5}>0.$$
Знаменатель всегда положителен, так как
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16<0.$$
Следовательно, нужно решить
$$x^2+4x-21>0.$$
Разложим на множители:
$$x^2+4x-21=(x+7)(x-3).$$
Тогда
$$(x+7)(x-3)>0,$$
откуда
$$x<-7 \text{ или } x>3.$$
в) Рассмотрим неравенство
$$\frac{x^2-3}{7x^2+3x+2}>0.$$
Знаменатель всегда положителен, так как
$$D=3^2-4\cdot 7\cdot 2=9-56=-47<0.$$
Значит, нужно решить
$$x^2-3>0.$$
Получаем
$$x^2>3,$$
то есть
$$x<-\sqrt{3} \text{ или } x>\sqrt{3}.$$
г) Рассмотрим неравенство
$$\frac{4x^2+5x+3}{5-x^2}<0.$$
Числитель всегда положителен, так как
$$D=5^2-4\cdot 4\cdot 3=25-48=-23<0.$$
Следовательно, дробь будет отрицательной тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:
$$5-x^2<0.$$
Отсюда
$$x^2>5,$$
то есть
$$x<-\sqrt{5} \text{ или } x>\sqrt{5}.$$
Ответ
а) $$x\in(1;6)$$; б) $$x\in(-\infty;-7)\cup(3;+\infty)$$; в) $$x\in(-\infty;-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3};+\infty)$$; г) $$x\in(-\infty;-\sqrt{5})\cup(\sqrt{5};+\infty)$$.
