Упр.15 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

2) Упростите выражение 1/((a+2)/(a-2)+(a-2)/(a+2)-16/(a^2-4)+2).
3) Постройте график функции y=0,2x^2-3.
4) Произведение двух чисел равно 3,5, а их разность равна 6,5. Найдите эти числа.

Подробный ответ

$$27\sqrt{1\frac{2}{3}}-3\sqrt{60}-15\sqrt{0{,}6}+18\sqrt{2\frac{7}{9}}$$
Преобразуем смешанные числа и корни:
$$1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}, \qquad 2\frac{7}{9}=\frac{25}{9}, \qquad 0{,}6=\frac{3}{5}.$$
Тогда
$$ 27\sqrt{\frac{5}{3}}-3\sqrt{60}-15\sqrt{\frac{3}{5}}+18\sqrt{\frac{25}{9}}. $$
Упростим:
$$ 27\sqrt{\frac{5}{3}}=9\cdot 3\sqrt{\frac{5}{3}}=9\sqrt{15}, $$
$$ 3\sqrt{60}=3\sqrt{4\cdot 15}=6\sqrt{15}, $$
$$ 15\sqrt{\frac{3}{5}}=3\sqrt{25\cdot 0{,}6}=3\sqrt{15}, $$
$$ 18\sqrt{\frac{25}{9}}=18\cdot \frac{5}{3}=30. $$
Получаем:
$$ 9\sqrt{15}-6\sqrt{15}-3\sqrt{15}+30=30. $$
$$\frac{1}{\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2}-\frac{16}{a^2-4}+2}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2} =\frac{(a+2)^2+(a-2)^2}{a^2-4}. $$
Тогда знаменатель дроби равен
$$ \frac{(a+2)^2+(a-2)^2-16+2(a^2-4)}{a^2-4}. $$
Раскроем скобки:
$$ (a+2)^2+(a-2)^2-16+2(a^2-4) = (a^2+4a+4)+(a^2-4a+4)-16+2a^2-8 =4a^2-16. $$
Значит,
$$ \frac{1}{\frac{4a^2-16}{a^2-4}} =\frac{a^2-4}{4a^2-16} =\frac{a^2-4}{4(a^2-4)} =\frac14. $$
При этом $$a\neq \pm 2.$$
Функция $$y=0{,}2x^2-3$$ — парабола, ветви направлены вверх.
Вершина параболы:
$$x_0=0,\qquad y_0=-3.$$
Для построения возьмём несколько точек:
x 2 3 5 -2 -3 -5
y -2,2 -1,2 2 -2,2 -1,2 2
По этим точкам строим параболу с вершиной $$\,(0;-3).$$
Пусть числа равны $$x$$ и $$y$$. Тогда
$$ \begin{cases} x-y=6{,}5,\\ xy=3{,}5. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$y=x-6{,}5.$$
Подставим во второе:
$$ x(x-6{,}5)=3{,}5 $$
$$ x^2-6{,}5x-3{,}5=0. $$
Умножим на 2:
$$ 2x^2-13x-7=0. $$
Дискриминант:
$$ D=13^2+4\cdot 2\cdot 7=169+56=225. $$
Тогда
$$ x_{1,2}=\frac{13\pm 15}{4}. $$
Получаем:
$$ x_1=-0{,}5,\qquad x_2=7. $$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$ y_1=-0{,}5-6{,}5=-7,\qquad y_2=7-6{,}5=0{,}5. $$