Упр.15 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Вычислите $$27\sqrt{1\frac{2}{3}}-3\sqrt{60}-15\sqrt{0{,}6}+18\sqrt{2\frac{7}{9}}$$.
2. Упростите выражение $$\frac{1}{\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2}-\frac{16}{a^2-4}+2}$$.
3. Постройте график функции $$y=0{,}2x^2-3$$.
4. Произведение двух чисел равно $$3{,}5$$, а их разность равна $$6{,}5$$. Найдите эти числа.

1. $$27\sqrt{1\frac{2}{3}}-3\sqrt{60}-15\sqrt{0{,}6}+18\sqrt{2\frac{7}{9}}$$

   Преобразуем смешанные числа и корни:
   $$1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}, \qquad 2\frac{7}{9}=\frac{25}{9}, \qquad 0{,}6=\frac{3}{5}.$$

   Тогда
   $$27\sqrt{\frac{5}{3}}-3\sqrt{60}-15\sqrt{\frac{3}{5}}+18\sqrt{\frac{25}{9}}.$$

   Упростим:
   $$27\sqrt{\frac{5}{3}}=9\cdot 3\sqrt{\frac{5}{3}}=9\sqrt{15},$$
   $$3\sqrt{60}=3\sqrt{4\cdot 15}=6\sqrt{15},$$
   $$15\sqrt{\frac{3}{5}}=3\sqrt{25\cdot 0{,}6}=3\sqrt{15},$$
   $$18\sqrt{\frac{25}{9}}=18\cdot \frac{5}{3}=30.$$

   Получаем:
   $$9\sqrt{15}-6\sqrt{15}-3\sqrt{15}+30=30.$$

2. $$\frac{1}{\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2}-\frac{16}{a^2-4}+2}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{a+2}{a-2}+\frac{a-2}{a+2} =\frac{(a+2)^2+(a-2)^2}{a^2-4}.$$

   Тогда знаменатель дроби равен
   $$\frac{(a+2)^2+(a-2)^2-16+2(a^2-4)}{a^2-4}.$$

   Раскроем скобки:
   $$(a+2)^2+(a-2)^2-16+2(a^2-4) = (a^2+4a+4)+(a^2-4a+4)-16+2a^2-8 =4a^2-16.$$

   Значит,
   $$\frac{1}{\frac{4a^2-16}{a^2-4}} =\frac{a^2-4}{4a^2-16} =\frac{a^2-4}{4(a^2-4)} =\frac14.$$

   При этом $$a\neq \pm 2.$$

3. Функция $$y=0{,}2x^2-3$$ — парабола, ветви направлены вверх.

   Вершина параболы:
   $$x_0=0,\qquad y_0=-3.$$

   Для построения возьмём несколько точек:

   x	2	3	5	-2	-3	-5
   y	-2,2	-1,2	2	-2,2	-1,2	2

   По этим точкам строим параболу с вершиной $$\,(0;-3).$$

4. Пусть числа равны $$x$$ и $$y$$. Тогда
   $$\begin{cases} x-y=6{,}5,\\ xy=3{,}5. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:
   $$y=x-6{,}5.$$

   Подставим во второе:
   $$x(x-6{,}5)=3{,}5$$
   $$x^2-6{,}5x-3{,}5=0.$$

   Умножим на 2:
   $$2x^2-13x-7=0.$$

   Дискриминант:
   $$D=13^2+4\cdot 2\cdot 7=169+56=225.$$

   Тогда
   $$x_{1,2}=\frac{13\pm 15}{4}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-0{,}5,\qquad x_2=7.$$

   Найдём соответствующие значения $$y$$:
   $$y_1=-0{,}5-6{,}5=-7,\qquad y_2=7-6{,}5=0{,}5.$$

Ответ

1) $$30$$;
2) $$\frac14$$;
3) парабола с вершиной $$\,(0;-3)$$, ветви направлены вверх;
4) $$-0{,}5$$ и $$-7$$; $$0{,}5$$ и $$7$$.