Упр.140 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) При каких значениях а множество решений неравенства (х — 3)(х — 5)(х — а)2 > 0 состоит из двух интервалов? из трёх интервалов?
б) При каких значениях а множество решений неравенства (х — 3) (х — 5) (х — а)2 < 0 состоит из одного интервала? из двух интервалов?

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство $$ (x-3)(x-5)(x-a)^2>0. $$

Множитель $$ (x-a)^2 $$ всегда неотрицателен и обращается в нуль при $$ x=a $$, поэтому знак произведения определяется множителями $$ (x-3) $$ и $$ (x-5) $$, а точка $$ x=a $$ может только исключаться из решения, если она попадает внутрь промежутка.

Если $$ a<3 $$ или $$ a>5 $$, то точка $$ a $$ лежит вне промежутка между $$ 3 $$ и $$ 5 $$, и решение имеет вид

$$ x\in(-\infty;3)\cup(5;+\infty). $$

Это два интервала.

Если $$ 3\le a\le 5 $$, то точка $$ a $$ находится между $$ 3 $$ и $$ 5 $$ или совпадает с одной из этих точек, и тогда из промежутка $$ (3;5) $$ вырезается точка $$ a $$ (или ничего не вырезается при совпадении с границей). Получаем

$$ x\in(-\infty;3)\cup(3;a)\cup(a;5)\cup(5;+\infty), $$

то есть три интервала при $$ 3<a<5 $$, а при $$ a=3 $$ или $$ a=5 $$ — снова два интервала.

б) Рассмотрим неравенство $$ (x-3)(x-5)(x-a)^2<0. $$

Здесь знак произведения отрицателен только между корнями $$ 3 $$ и $$ 5 $$, а точка $$ a $$, если она лежит внутри этого промежутка, вырезает из него одну точку.

Если $$ a<3 $$ или $$ a>5 $$, то

$$ x\in(3;5), $$

то есть получается один интервал.

Если $$ 3<a<5 $$, то

$$ x\in(3;a)\cup(a;5), $$

то есть получается два интервала.

При $$ a=3 $$ или $$ a=5 $$ снова имеем один интервал $$ (3;5) $$.