Упр.14 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

2) Упростите выражение a/(a^2-4)+a/(a+2)·(a/(a^2-a)-1/(a-1).
3) Постройте график функции y=2x-x^2.
4) Сумма двух целых чисел равна 6, а их произведение равно -7. Найдите эти числа.

Подробный ответ

$$\frac14\cdot 5+\frac{5}{12}:(2{,}5\cdot \frac13-0{,}875)$$
$$\frac14\cdot 5=\frac54,\qquad 2{,}5\cdot \frac13=\frac{5}{6},\qquad 0{,}875=\frac78$$
$$\frac56-\frac78=\frac{20-21}{24}=-\frac1{24}$$
$$\frac{5}{12}:\left(-\frac1{24}\right)=\frac{5}{12}\cdot(-24)=-10$$
$$\frac54-10=\frac54-\frac{40}{4}=-\frac{35}{4}=-8{,}75$$
$$\frac{a}{a^2-4}+\frac{a}{a+2}\left(\frac{a}{a^2-a}-\frac{1}{a-1}\right)$$
Разложим знаменатель:
$$a^2-a=a(a-1)$$
Тогда
$$\frac{a}{a^2-a}-\frac{1}{a-1}=\frac{a}{a(a-1)}-\frac{1}{a-1}=\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a-1}=0$$
Следовательно,
$$\frac{a}{a^2-4}+\frac{a}{a+2}\cdot 0=\frac{a}{a^2-4}$$
$$y=2x-x^2=-x^2+2x$$
Это парабола, ветви направлены вниз, так как $$a=-1<0$$.
Найдём вершину:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1$$
$$y_0=2\cdot 1-1^2=1$$
Вершина параболы: $$\left(1;1\right)$$.
Для построения можно взять точки:
$$x$$ $$0$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$
$$y$$ $$0$$ $$1$$ $$0$$ $$-3$$
График проходит через точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(2;0\right)$$, вершина — $$\left(1;1\right)$$.
Пусть числа равны $$x$$ и $$y$$. Тогда
$$ \begin{cases} x+y=6,\\ xy=-7 \end{cases} $$
Из первого уравнения $$y=6-x$$. Подставим во второе:
$$x(6-x)=-7$$
$$6x-x^2=-7$$
$$x^2-6x-7=0$$
$$D=36+28=64$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 8}{2}$$
$$x_1=-1,\qquad x_2=7$$
Тогда соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=6-(-1)=7,\qquad y_2=6-7=-1$$
Искомые числа: $$-1$$ и $$7$$.