Упр.139 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) (x-2)(x-1) > 0
б) (x+4) (x+3)^2 < 0
в) (3x-1)^3 (x+1) > 0
г) (x+2) (5x+3)^2 < 0
д) (4+x)(9-x^2 )(x^2-2x+1) > 0
е) (x-1)(25-x^2 )(x^2-4x+4) > 0
ж) (3x-7)(x^2+2x+2) < 0
з) (5x-8)(x^2-4x+5) > 0
и) (x^2+4x+5)(x^2-4x+3)(x-1) < 0
к) (-x^2+6x-10)(x^2-5x+6)(x-2) > 0
а) $$\left(x-2\right)^2\left(x-1\right)>0$$
Так как $$\left(x-2\right)^2\ge 0$$ и обращается в нуль при $$x=2$$, то знак произведения определяется множителем $$x-1$$. Получаем:
$$x>1,\quad x\ne 2.$$
$$x\in(1;2)\cup(2;+\infty).$$
б) $$\left(x+4\right)\left(x+3\right)^2<0$$
Так как $$\left(x+3\right)^2\ge 0$$, то произведение отрицательно только при
$$x+4<0,\quad x\ne -3.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-4).$$
в) $$\left(3x-1\right)^3\left(x+1\right)>0$$
Поскольку куб сохраняет знак, имеем:
$$\left(3x-1\right)\left(x+1\right)>0.$$
Отсюда
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>\frac13.$$
$$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac13;+\infty\right).$$
г) $$\left(x+2\right)\left(5x+3\right)^2<0$$
Так как $$\left(5x+3\right)^2\ge 0$$, то нужно, чтобы
$$x+2<0,\quad x\ne -\frac35.$$
Но точка $$x=-\frac35$$ не входит в промежуток $$(-\infty;-2)$$, значит
$$x\in(-\infty;-2).$$
д) $$\left(x+4\right)\left(9-x^2\right)\left(x^2-2x+1\right)>0$$
Преобразуем:
$$\left(x+4\right)\left(3-x\right)\left(3+x\right)\left(x-1\right)^2>0.$$
Так как $$\left(x-1\right)^2\ge 0$$, получаем неравенство
$$\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)<0,$$
при этом $$x\ne 1.$$
По методу интервалов:
$$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;1)\cup(1;3).$$
е) $$\left(x-1\right)\left(25-x^2\right)\left(x^2-4x+4\right)>0$$
Преобразуем:
$$\left(x-1\right)\left(5-x\right)\left(5+x\right)\left(x-2\right)^2>0.$$
Так как $$\left(x-2\right)^2\ge 0$$, получаем
$$\left(x-1\right)\left(x+5\right)\left(x-5\right)<0,$$
при этом $$x\ne 2.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;-5)\cup(1;2)\cup(2;5).$$
ж) $$\left(3x-7\right)\left(x^2+2x+2\right)<0$$
Для квадратного трёхчлена
$$D=2^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит
$$x^2+2x+2>0$$ при всех $$x.$$
Тогда нужно, чтобы
$$3x-7<0,$$
то есть
$$x<\frac73.$$
$$x\in\left(-\infty;\frac73\right).$$
з) $$\left(5x-8\right)\left(x^2-4x+5\right)>0$$
Для квадратного трёхчлена
$$D=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4<0,$$
значит
$$x^2-4x+5>0$$ при всех $$x.$$
Следовательно,
$$5x-8>0,\quad x>\frac85.$$
$$x\in\left(\frac85;+\infty\right).$$
и) $$\left(x^2+4x+5\right)\left(x^2-4x+3\right)\left(x-1\right)<0$$
Имеем
$$D_1=4^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4<0,$$
значит $$x^2+4x+5>0$$ при всех $$x.$$
Далее
$$x^2-4x+3=\left(x-1\right)\left(x-3\right).$$
Тогда
$$\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)<0.$$
Так как $$\left(x-1\right)^2>0$$ при $$x\ne 1$$, получаем
$$x<3,\quad x\ne 1.$$
$$x\in(-\infty;1)\cup(1;3).$$
к) $$\left(-x^2+6x-10\right)\left(x^2-5x+6\right)\left(x-2\right)>0$$
Преобразуем:
$$\left(x^2-6x+10\right)\left(x^2-5x+6\right)\left(x-2\right)<0.$$
Для первого множителя
$$D=6^2-4\cdot1\cdot10=36-40=-4<0,$$
значит $$x^2-6x+10>0$$ при всех $$x.$$
Второй множитель раскладывается:
$$x^2-5x+6=\left(x-2\right)\left(x-3\right).$$
Тогда
$$\left(x-2\right)^2\left(x-3\right)<0.$$
Следовательно,
$$x<3,\quad x\ne 2.$$
$$x\in(-\infty;2)\cup(2;3).$$
Ответ
а) $$x\in(1;2)\cup(2;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;-4)$$; в) $$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$; г) $$x\in(-\infty;-2)$$; д) $$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;1)\cup(1;3)$$; е) $$x\in(-\infty;-5)\cup(1;2)\cup(2;5)$$; ж) $$x\in\left(-\infty;\frac73\right)$$; з) $$x\in\left(\frac85;+\infty\right)$$; и) $$x\in(-\infty;1)\cup(1;3)$$; к) $$x\in(-\infty;2)\cup(2;3)$$.
