Упр.133 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. а) Найдите все такие $$x$$, для каждого из которых выражение $$(x-1)(x-3)(x-4)$$ принимает значение, равное нулю. б) Определите интервалы, на которых выражение $$(x-1)(x-3)(x-4)$$ принимает положительные значения; отрицательные значения.

а) Чтобы произведение $$(x-1)(x-3)(x-4)$$ было равно нулю, достаточно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю:

$$x-1=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \quad \text{или} \quad x-4=0$$
$$x=1,\quad x=3,\quad x=4$$

Значит, $$x \in \{1;3;4\}$$.

б) Найдём знаки выражения $$(x-1)(x-3)(x-4)$$ на промежутках, которые задают точки $$1$$, $$3$$ и $$4$$.

Рассмотрим интервалы:

• при $$x \in (-\infty;1)$$ произведение отрицательно;
• при $$x \in (1;3)$$ произведение положительно;
• при $$x \in (3;4)$$ произведение отрицательно;
• при $$x \in (4;+\infty)$$ произведение положительно.

Следовательно, выражение принимает положительные значения на промежутках $$(1;3) \cup (4;+\infty)$$, а отрицательные — на промежутках $$(-\infty;1) \cup (3;4)$$.

Ответ

а) $$x=\{1;3;4\}$$;

б) $$(x-1)(x-3)(x-4)>0$$ при $$x \in (1;3)\cup(4;+\infty)$$,

$$(x-1)(x-3)(x-4)<0$$ при $$x \in (-\infty;1)\cup(3;4)$$.