Упр.1266 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1266. Проливной дождь лил несколько часов подряд. Когда он наполнил некоторую часть открытого бассейна, включили насос для откачки воды. Он откачал воду за 5 ч, на протяжении которых дождь продолжал лить. Если бы вместо первого насоса включили второй, мощность которого в 2 раза больше, то он откачал бы воду за 2 ч. За сколько часов откачали бы воду два насоса при совместной работе? Считайте процессы наполнения бассейна и откачки воды равномерными.

Подробный ответ

Пусть первый насос откачивает воду со скоростью $$x$$ л/ч, а дождь наполняет бассейн со скоростью $$y$$ л/ч. Тогда за время $$t$$ ч до начала откачки в бассейне накопилось $$ty$$ л воды.

Первый насос откачал эту воду за 5 ч, причём дождь всё это время продолжал идти, значит:

$$5x=ty+5y.$$

Второй насос в 2 раза мощнее первого, значит его скорость равна $$2x$$. Он откачал бы ту же воду за 2 ч, поэтому:

$$2\cdot 2x=ty+2y.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 5x=ty+5y,\\ 4x=ty+2y. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$5x-4x=3y,$$

откуда

$$x=3y.$$

Пусть вместе насосы откачивают воду за $$n$$ ч. Тогда их общая скорость равна $$x+2x=3x$$, и за $$n$$ часов они откачают воду, которая за это время одновременно пополняется дождём:

$$n(3x-y)=ty.$$

Подставим $$x=3y$$:

$$n(9y-y)=ty,$$

$$8ny=ty,$$

$$t=8n.$$

Из первого уравнения при $$x=3y$$:

$$5\cdot 3y=ty+5y,$$

$$15y=ty+5y,$$

$$ty=10y,$$

значит

$$t=10.$$

Тогда