Упр.1265 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1265. Из пункта A в пункт В, расстояние между которыми 525 км, выехал мотоциклист. Через некоторое время из пункта В в пункт А выехала машина, которая встретилась с мотоциклистом в тот момент, когда он проехал 3/7 расстояния от пункта А до пункта В. Мотоциклист и машина продолжали двигаться дальше, и мотоциклист приехал в пункт В через 3 ч после того, как машина прибыла в пункт А. Если бы машина выехала из пункта В на 1,5 ч раньше, чем в действительности, то она встретилась бы с мотоциклистом на расстоянии 180 км от пункта А. Определите скорость мотоциклиста.

Подробный ответ

Обозначим: $$v_1$$ — скорость мотоциклиста, $$v_2$$ — скорость машины, $$t$$ — время, через которое выехала машина.

По условию, если машина выедет на $$1{,}5$$ ч раньше, то встреча произойдёт на расстоянии $$180$$ км от пункта $$A$$. Тогда мотоциклист проедет $$180$$ км, а машина — $$525-180=345$$ км:

$$\frac{180}{v_1}=\frac{345}{v_2}+t-\frac{3}{2}.$$

Так как при обычном выезде они встретились, когда мотоциклист проехал $$\frac{3}{7}$$ пути, то он проехал

$$\frac{3}{7}\cdot 525=225$$

км, а машина —

$$525-225=300$$

км. Значит,

$$\frac{225}{v_1}=\frac{300}{v_2}+t.$$

После встречи мотоциклист доехал до пункта $$B$$ за

$$\frac{525-225}{v_1}=\frac{300}{v_1}$$

часов, а машина доехала до пункта $$A$$ за

$$\frac{225}{v_2}$$

часов. По условию, мотоциклист приехал в пункт $$B$$ на $$3$$ ч позже, чем машина в пункт $$A$$:

$$\frac{300}{v_1}=\frac{225}{v_2}+3.$$

Из второго уравнения выразим $$t$$:

$$t=\frac{225}{v_1}-\frac{300}{v_2}.$$

Подставим в первое:

$$\frac{180}{v_1}=\frac{345}{v_2}+\frac{225}{v_1}-\frac{300}{v_2}-\frac{3}{2}.$$

Перенесём и упростим:

$$\frac{45}{v_1}+\frac{45}{v_2}=\frac{3}{2}.$$

Из третьего уравнения:

$$\frac{300}{v_1}-\frac{225}{v_2}=3,$$

$$\frac{2}{v_1}-\frac{3}{v_2}=\frac{1}{75}.$$

Решая систему
$$ \begin{cases} \frac{45}{v_1}+\frac{45}{v_2}=\frac{3}{2},\\ \frac{2}{v_1}-\frac{3}{v_2}=\frac{1}{75}, \end{cases} $$
получаем $$v_1=50$$.