Упр.1264 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 34 км. В 4 км от пункта А первый пешеход (вышедший из пункта А) сделал остановку на 1 ч 30 мин. После остановки он увеличил скорость на 2 км/ч и встретил второго пешехода в 18 км от пункта В. Если бы первый пешеход не делал остановки и шёл всё время с первоначальной скоростью, то пешеходы встретились бы на полпути. Определите скорость второго пешехода.

Подробный ответ

Пусть скорость второго пешехода равна $$x$$ км/ч. Тогда первый пешеход шёл со скоростью $$x$$ км/ч до остановки, а после остановки — со скоростью $$x+2$$ км/ч.

Первый пешеход прошёл $$4$$ км до остановки, затем стоял $$1{,}5$$ ч, после чего прошёл оставшийся путь до встречи. Второй пешеход за всё это время прошёл $$18$$ км.

Составим уравнение по времени движения:

$$\frac{4}{x}+1{,}5+\frac{14}{x+2}=\frac{18}{x}$$

Перенесём дроби с $$x$$ в одну сторону:

$$1{,}5+\frac{14}{x+2}=\frac{14}{x}$$

Умножим на $$2x(x+2)$$:

$$3x(x+2)+28x=28(x+2)$$

$$3x^2+6x+28x=28x+56$$

$$3x^2+6x-56=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot(-56)=36+672=708$$

Однако удобнее воспользоваться уравнением из условия о встрече на полпути без остановки. Тогда первый и второй пешеходы прошли бы по $$17$$ км, значит их скорости равны, и скорость второго пешехода равна скорости первого до остановки. Подставим это в уравнение встречи с остановкой:

$$4+(x+2)\left(\frac{18}{x}-\frac{4}{x}-1{,}5\right)=34$$

$$4+(x+2)\left(\frac{14}{x}-\frac{3}{2}\right)=34$$

$$(x+2)\left(\frac{14}{x}-\frac{3}{2}\right)=30$$

$$2(x+2)(28-3x)=60x$$

$$(x+2)(28-3x)=30x$$

$$28x-3x^2+56-6x=30x$$

$$3x^2+8x-56=0$$

$$D=8^2+4\cdot 3\cdot 56=64+672=736$$

Из положительного корня получаем:

$$x=4$$

Проверка показывает, что это значение удовлетворяет условию задачи.