Упр.1263 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1263. Проценты содержания (по массе) красителя в трёх растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в отношении 2:3:4, то получится раствор, содержащий 32% красителя. Если же смешать их в отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 22% красителя. Сколько процентов красителя содержит первый раствор?

Пусть $$x$$, $$y$$ и $$z$$ — проценты красителя в первом, втором и третьем растворах.

По условию смеси в отношении $$2:3:4$$ содержат $$32\%$$ красителя, значит

$$2x+3y+4z=(2+3+4)\cdot 32,$$

$$2x+3y+4z=288.$$

Отсюда

$$y=96-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}z.$$

По условию смеси в отношении $$3:2:1$$ содержат $$22\%$$ красителя, значит

$$3x+2y+z=(3+2+1)\cdot 22,$$

$$3x+2y+z=132.$$

Подставим выражение для $$y$$:

$$3x+2\left(96-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}z\right)+z=132,$$

$$3x+192-\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}z+z=132,$$

$$\frac{5}{3}x-\frac{5}{3}z+60=0,$$

$$x-z+36=0,$$

$$x=z-36.$$

Тогда

$$y=96-\frac{2}{3}(z-36)-\frac{4}{3}z=120-2z.$$

Так как проценты образуют геометрическую прогрессию, то

$$y^2=xz.$$

Подставим найденные выражения:

$$\left(120-2z\right)^2=(z-36)z,$$

$$14400-480z+4z^2=z^2-36z,$$

$$3z^2-444z+14400=0,$$

$$z^2-148z+4800=0.$$

Найдём корни:

$$D=148^2-4\cdot 4800=2704,$$

$$z_{1,2}=\frac{148\pm 52}{2}.$$

Получаем

$$z_1=48,\qquad z_2=100.$$

Если $$z=100$$, то $$x=100-36=64$$, и тогда $$y=120-2\cdot 100=-80$$, что невозможно. Значит, $$z=48$$.

Тогда

$$x=48-36=12.$$

Ответ

$$12\%$$