Упр.1259 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1259. Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют бассейн за 4 ч. Для наполнения бассейна наполовину первому насосу требуется время на 4 ч большее, чем второму насосу для наполнения бассейна на три четверти. За какое время может наполнить бассейн каждый из насосов в отдельности?

Пусть первый насос может наполнить бассейн за $$x$$ ч, а второй — за $$y$$ ч. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$ бассейна в час.

По условию первый насос наполняет половину бассейна на 4 ч дольше, чем второй насос наполняет три четверти бассейна:

$$\frac{x}{2}-\frac{3y}{4}=4.$$

Умножим на $$4$$:

$$2x-3y=16,$$

откуда

$$x=8+\frac{3}{2}y.$$

Так как вместе насосы наполняют бассейн за 4 ч, получаем:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}.$$

Подставим $$x=8+\frac{3}{2}y$$:

$$\frac{1}{8+\frac{3}{2}y}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}.$$

Умножим на $$4y\left(8+\frac{3}{2}y\right)$$:

$$4y+4\left(8+\frac{3}{2}y\right)=y\left(8+\frac{3}{2}y\right).$$

Раскроем скобки:

$$4y+32+6y=8y+\frac{3}{2}y^2,$$

$$\frac{3}{2}y^2-2y-32=0.$$

Умножим на $$2$$:

$$3y^2-4y-64=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-64)=16+768=784,$$

$$y=\frac{4\pm 28}{6}.$$

Получаем:

$$y_1=-4,\qquad y_2=\frac{32}{6}=\frac{16}{3}.$$

Отрицательное значение не подходит, значит

$$y=\frac{16}{3}\text{ ч}=5\text{ ч }20\text{ мин}.$$

Тогда

$$x=8+\frac{3}{2}\cdot \frac{16}{3}=8+8=16\text{ ч}.$$

Ответ

$$16\text{ ч};\ 5\text{ ч }20\text{ мин}.$$