Упр.1258 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1258. Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать шоссе за 18 рабочих дней. Если первая бригада, работая одна, выполнит 2/3 всей работы, а вторая бригада — оставшуюся часть, то на ремонт шоссе понадобится 40 дней. За сколько дней каждая бригада, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Пусть первая бригада может выполнить всю работу за $$x$$ дней, а вторая — за $$y$$ дней. Тогда за один день они выполняют соответственно $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$ части работы.

По условию, если первая бригада выполнит $$\frac{2}{3}$$ работы, а вторая — оставшуюся $$\frac{1}{3}$$, то на весь ремонт уйдёт 40 дней:

$$\frac{2x}{3}+\frac{y}{3}=40$$

Умножим на 3:

$$2x+y=120$$

Отсюда

$$y=120-2x$$

Если бригады работают вместе, то за 18 дней они выполняют всю работу:

$$\frac{18}{x}+\frac{18}{y}=1$$

Умножим на $$xy$$:

$$18y+18x=xy$$

Подставим $$y=120-2x$$:

$$18(120-2x)+18x=x(120-2x)$$

$$2160-36x+18x=120x-2x^2$$

$$2x^2-138x+2160=0$$

Разделим на 2:

$$x^2-69x+1080=0$$

Найдём корни:

$$D=69^2-4\cdot1080=4761-4320=441$$

$$x=\frac{69\pm21}{2}$$

$$x_1=24,\quad x_2=45$$

Тогда

$$y_1=120-2\cdot24=72,\quad y_2=120-2\cdot45=30$$

Проверка показывает, что оба набора значений подходят.

Ответ

Первая бригада — $$24$$ дня и вторая — $$72$$ дня; или первая — $$45$$ дней и вторая — $$30$$ дней.