Упр.1256 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Колонна солдат длиной $$l$$ движется с постоянной скоростью по шоссе. Курьер из конца колонны отправился в её начало. Достигнув начала колонны, он тут же повернул обратно и пошёл в конец колонны с той же скоростью. За это время колонна прошла расстояние $$s$$. Определите расстояние, которое прошёл курьер в оба конца, если:
а) $$l=400\ \text{м}$$, $$s=300\ \text{м}$$;
б) $$l=300\ \text{м}$$, $$s=400\ \text{м}$$.

Подробный ответ

Пусть скорость колонны равна $$x$$ м/мин, скорость курьера — $$y$$ м/мин, время движения — $$t$$ мин, длина колонны — $$l$$ м, путь, пройденный колонной, — $$s$$ м, а путь курьера в оба конца — $$L$$ м.

Тогда время движения курьера к началу колонны и обратно равно

$$t=\frac{l}{y-x}+\frac{l}{y+x} =\frac{l(y+x)+l(y-x)}{(y+x)(y-x)} =\frac{2ly}{y^2-x^2}.$$

Так как $$y=\frac{L}{t}$$ и $$x=\frac{s}{t}$$, получаем

$$t=\frac{2l\cdot \frac{L}{t}}{\left(\frac{L}{t}\right)^2-\left(\frac{s}{t}\right)^2} =\frac{2lLt}{L^2-s^2}.$$

Отсюда

$$L^2-s^2=2lL,$$

или

$$L^2-2lL-s^2=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(2l)^2+4s^2=4l^2+4s^2=4(l^2+s^2),$$

$$L=\frac{2l\pm 2\sqrt{l^2+s^2}}{2}=l\pm \sqrt{l^2+s^2}.$$

Так как $$\sqrt{l^2+s^2}>l$$, подходит только положительное значение: