Упр.1234 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1234. Несколько учащихся 9А и 9Б классов организовали турнир по шашкам. Каждый участник турнира сыграл с каждым по одной партии. За выигрыш присуждали 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Учащиеся 9А класса вместе набрали 26 очков, а учащиеся 9Б класса, которых было на 3 больше, набрали очков поровну. Сколько было участников турнира?

Пусть в 9А классе было $$x$$ учащихся, тогда в 9Б классе было $$x+3$$ учащихся. Всего участников турнира:

$$x+(x+3)=2x+3.$$

Каждый сыграл с каждым по одной партии, значит всего партий было

$$\frac{(2x+3)(2x+2)}{2}.$$

За каждую партию начислялось 2 очка, поэтому всего очков набрали

$$2\cdot \frac{(2x+3)(2x+2)}{2}=(2x+3)(2x+2).$$

Учащиеся 9А класса набрали 26 очков, значит учащиеся 9Б класса набрали

$$ (2x+3)(2x+2)-26 $$

очков. Так как в 9Б классе было $$x+3$$ учащихся и очки распределились поровну, то это число делится на $$x+3$$:

$$\frac{(2x+3)(2x+2)-26}{x+3}\in \mathbb{Z}.$$

Раскроем скобки:

$$ (2x+3)(2x+2)-26=4x^2+10x+6-26=4x^2+10x-20. $$

Тогда

$$ \frac{4x^2+10x-20}{x+3}\in \mathbb{Z}. $$

Подберём целые значения $$x$$, при которых это выражение целое. Из условия $$x(x-1)<26$$ получаем

$$ x^2-x-26<0. $$

Корни уравнения $$x^2-x-26=0$$:

$$ D=1+104=105,\qquad x=\frac{1\pm \sqrt{105}}{2}. $$

Следовательно, $$x$$ — целое число, и возможны только небольшие значения. Проверим подходящее значение $$x=4$$:

$$ \frac{(2\cdot 4+3)(2\cdot 4+2)-26}{4+3} =\frac{11\cdot 10-26}{7} =\frac{84}{7}=12. $$

Значит, в 9Б классе было $$4+3=7$$ учащихся, а всего участников турнира:

$$4+7=11.$$

Ответ

$$11$$ человек.