Упр.1230 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1230. Задача Бхаскары (Индия, XII в.). Корень квадратный из половины пчелиного роя полетел к кусту жасмина. Восемь девятых роя осталось дома. Одна пчёлка полетела за трутнем, обеспокоенная его жужжанием в цветке лотоса, куда он попал вечером, привлечённый приятным ароматом, и не мог оттуда выбраться, так как цветок закрылся. Скажи мне число пчёл роя.

Пусть $$x$$ — число пчёл в рое. Тогда к кусту жасмина полетело $$\sqrt{\frac{x}{2}}$$ пчёл, дома осталось $$\frac{8x}{9}$$ пчёл, ещё одна пчёлка полетела за трутнем, и всего получилось:

$$\sqrt{\frac{x}{2}}+\frac{8x}{9}+2=x.$$

Положим $$y=\sqrt{x}$$. Тогда $$x=y^2$$, и уравнение примет вид:

$$\frac{y}{\sqrt{2}}+\frac{8y^2}{9}+2=y^2.$$

Умножим обе части на $$9\sqrt{2}$$:

$$9y+8\sqrt{2}\,y^2+18\sqrt{2}=9\sqrt{2}\,y^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\sqrt{2}\,y^2-9y-18\sqrt{2}=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=9^2-4\cdot \sqrt{2}\cdot(-18\sqrt{2})=81+144=225.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{9\pm 15}{2\sqrt{2}}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac{3}{\sqrt{2}}, \qquad y_2=\frac{12}{\sqrt{2}}.$$

Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0$$, подходит только

$$y=\frac{12}{\sqrt{2}}.$$

Тогда

$$x=y^2=\left(\frac{12}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{144}{2}=72.$$

Ответ

$$72$$