Упр.123 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) |x^2-6x+8| < 3 б) |x^2+2x-4| > 4
в) 4 < |x^2-2x-4| < 11 г)-6 < |x^2+4x-6| < 15

1. $$|x^2-6x+8|<3$$
   Это равносильно системе:
   $$ \begin{cases} x^2-6x+8<3,\\ x^2-6x+8>-3. \end{cases} $$
   Получаем:
   $$ \begin{cases} x^2-6x+5<0,\\ x^2-6x+11>0. \end{cases} $$
   Решаем первое неравенство:
   $$ x^2-6x+5=(x-1)(x-5)<0, $$ откуда $$1<x<5.$$ Второе неравенство выполняется при всех $$x$$, так как $$D=36-44=-8<0,$$ а старший коэффициент положителен. Значит, $$x\in(1;5).$$
2. $$|x^2+2x-4|>4$$
   
   Это равносильно совокупности:
   $$ \begin{cases} x^2+2x-4>4,\\ x^2+2x-4<-4. \end{cases} $$ То есть: $$ \begin{cases} x^2+2x-8>0,\\ x^2+2x<0. \end{cases} $$ Решаем первое неравенство: $$ x^2+2x-8=(x-2)(x+4)>0, $$
   откуда
   $$x\in(-\infty;-4)\cup(2;+\infty).$$
   Решаем второе:
   $$ x(x+2)<0, $$ откуда $$x\in(-2;0).$$ Тогда $$x\in(-\infty;-4)\cup(-2;0)\cup(2;+\infty).$$
3. $$4<|x^2-2x-4|<11$$
   
   Это равносильно системе:
   $$ \begin{cases} |x^2-2x-4|>4,\\ |x^2-2x-4|<11. \end{cases} $$ Из первого неравенства: $$ \begin{cases} x^2-2x-8>0,\\ x^2-2x<0. \end{cases} $$ Отсюда: $$ x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty), \qquad x\in(0;2). $$ Значит, $$x\in(-\infty;-2)\cup(0;2)\cup(4;+\infty).$$ Из второго неравенства: $$ \begin{cases} x^2-2x-15<0,\\ x^2-2x+7>0. \end{cases} $$
   Второе неравенство выполняется при всех $$x$$, так как
   $$D=4-28=-24<0.$$
   Первое:
   $$ x^2-2x-15=(x-5)(x+3)<0, $$ откуда $$x\in(-3;5).$$ Пересекаем полученные множества: $$x\in(-3;-2)\cup(0;2)\cup(4;5).$$
4. $$-6<|x^2+4x-6|<15$$
   
   Так как $$|x^2+4x-6|\ge 0$$, первое неравенство выполняется при всех $$x$$. Остаётся:
   $$|x^2+4x-6|<15.$$ Тогда $$ \begin{cases} x^2+4x-6<15,\\ x^2+4x-6>-15. \end{cases} $$
   Получаем:
   $$ \begin{cases} x^2+4x-21<0,\\ x^2+4x+9>0. \end{cases} $$
   Второе неравенство выполняется при всех $$x$$, так как
   $$D=16-36=-20<0.$$
   Решаем первое:
   $$ x^2+4x-21=(x+7)(x-3)<0, $$ откуда $$x\in(-7;3).$$ С учётом условия $$|x^2+4x-6|>6$$ получаем:
   $$ \begin{cases} x^2+4x-6>6,\\ x^2+4x-6<-6. \end{cases} $$ То есть: $$ \begin{cases} x^2+4x-12>0,\\ x^2+4x<0. \end{cases} $$ Отсюда: $$x\in(-\infty;-6)\cup(2;+\infty), \qquad x\in(-4;0).$$ Пересечение с $$(-7;3)$$ даёт: $$x\in(-7;-6)\cup(-4;0)\cup(2;3).$$

Ответ

а) $$x\in(1;5)$$; б) $$x\in(-\infty;-4)\cup(-2;0)\cup(2;+\infty)$$; в) $$x\in(-3;-2)\cup(0;2)\cup(4;5)$$; г) $$x\in(-7;-6)\cup(-4;0)\cup(2;3)$$.