Упр.1222 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1222. Среди абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в вуз, оценку «отлично» получили: по математике — 96 абитуриентов, по физике — 74, по русскому языку — 84, по математике или физике — 150, по математике или русскому языку — 152, по физике или русскому языку — 132, по всем трём предметам — 8. Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько среди них получивших одну пятёрку?

Подробный ответ

Обозначим через $$A$$ число абитуриентов, получивших «отлично» по математике, через $$B$$ — по физике, через $$C$$ — по русскому языку.

Тогда

$$A=96,\quad B=74,\quad C=84,$$

$$A+B=150,\quad A+C=152,\quad B+C=132,\quad A\cdot B\cdot C=8.$$

Найдём число абитуриентов, получивших две пятёрки:

$$ \begin{aligned} A\cap B &= A+B-(A+B)=96+74-150=20,\\ A\cap C &= A+C-(A+C)=96+84-152=28,\\ B\cap C &= B+C-(B+C)=74+84-132=26. \end{aligned} $$

Число абитуриентов, получивших хотя бы одну пятёрку, по формуле включений и исключений равно:

$$ A+B+C-(A\cap B)-(A\cap C)-(B\cap C)+(A\cap B\cap C) $$

$$ =96+74+84-20-28-26+8=188. $$

Теперь найдём число абитуриентов, получивших только одну пятёрку:

$$ \begin{aligned} \text{только }A &= 188-132=56,\\ \text{только }B &= 188-152=36,\\ \text{только }C &= 188-150=38. \end{aligned} $$