Упр.1212 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1212. Грузовая машина выехала из пункта А в пункт В, Спустя 2 ч из пункта В в пункт А выехала легковая машина, которая прибыла в пункт А на час позже, чем грузовая машина в пункт В. Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она проехала 2/3 всего пути?

Подробный ответ

Обозначим через $$S$$ расстояние между пунктами, через $$v_1$$ и $$v_2$$ — скорости легковой и грузовой машин, через $$t_1$$ и $$t_2$$ — их время в пути.

Тогда

$$t_1=\frac{S}{v_1}, \qquad t_2=\frac{S}{v_2}.$$

Легковая машина выехала на 2 часа позже и прибыла на 1 час позже грузовой, значит

$$t_1+2=t_2+1,$$

откуда

$$t_1=t_2-1.$$

К моменту встречи грузовая машина проехала $$\frac{2}{3}$$ всего пути, а легковая — $$\frac{1}{3}$$. Поэтому за одно и то же время их скорости относятся как

$$v_1:v_2=1:2,$$

то есть

$$v_2=2v_1.$$

Тогда

$$t_2=\frac{S}{v_2}=\frac{S}{2v_1}=\frac{1}{2}t_1.$$

Подставим $$t_1=t_2-1$$:

$$t_2=\frac{1}{2}(t_2-1).$$

Умножим на 2:

$$2t_2=t_2-1,$$

$$t_2=1.$$

Это время движения легковой машины. Тогда время в пути грузовой машины:

$$t_1=t_2-1=0,$$

что невозможно, значит нужно учесть, что к моменту встречи грузовая машина прошла $$\frac{2}{3}S$$, а легковая — $$\frac{1}{3}S$$, и за время до встречи их скорости удовлетворяют

$$\frac{2}{3}S=v_2\cdot \tau,\qquad \frac{1}{3}S=v_1\cdot \tau,$$

следовательно

$$v_2=2v_1.$$

Пусть грузовая машина была в пути $$t_2$$ часов, тогда легковая — $$t_2-1$$ часов. За время до встречи грузовая прошла $$\frac{2}{3}S$$, значит

$$\frac{2}{3}S=v_2\cdot \tau,$$

а легковая — $$\frac{1}{3}S=v_1\cdot \tau.$$

Из отношения скоростей получаем

$$\frac{t_2}{t_1}=2,$$

то есть

$$t_2=2t_1.$$

Совместно с $$t_1=t_2-1$$ имеем

$$t_2=2(t_2-1),$$