Упр.1184 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- Найдите все углы $$?$$, для каждого из которых одновременно имеют смысл обе части равенства:
а) $$\operatorname{ctg}^2(?) — \cos^2(?) = \operatorname{ctg}^2(?)\cos^2(?)$$;
б) $$\cos^2(?)(\operatorname{tg}(?) + 2)(2\operatorname{tg}(?) + 1) = 5\sin(?)\cos(?) + 2$$.
Для найденных углов $$?$$ докажите справедливость равенства.
а) Рассмотрим левую часть:
$$\ctg^2 a-\cos^2 a=\ctg^2 a\cdot \cos^2 a.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\ctg^2 a-\ctg^2 a\cdot \cos^2 a-\cos^2 a=0.$$
Так как $$\ctg^2 a=\dfrac{\cos^2 a}{\sin^2 a},$$ получаем
$$\dfrac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\sin^2 a-\cos^2 a=0,$$
то есть
$$\cos^2 a-\cos^2 a=0.$$
Равенство тождественно верно при всех значениях, для которых определены обе части. Здесь нужно, чтобы существовал $$\ctg a$$, то есть
$$\sin a\ne 0.$$
Следовательно,
$$a\ne \pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
б) Преобразуем левую часть:
$$\cos^2 a(\tg a+2)(2\tg a+1)=5\sin a\cos a+2.$$
Раскроем скобки:
$$\cos^2 a(2\tg^2 a+5\tg a+2)=5\sin a\cos a+2.$$
Подставим $$\tg a=\dfrac{\sin a}{\cos a}$$:
$$\cos^2 a\left(2\dfrac{\sin^2 a}{\cos^2 a}+5\dfrac{\sin a}{\cos a}+2\right)=5\sin a\cos a+2.$$
После умножения на $$\cos^2 a$$ получаем:
$$2\sin^2 a+5\sin a\cos a+2\cos^2 a=5\sin a\cos a+2.$$
Сократим одинаковые слагаемые:
$$2\sin^2 a+2\cos^2 a=2.$$
Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ то
$$2(\sin^2 a+\cos^2 a)=2,$$
$$2=2.$$
Равенство тождественно верно при всех значениях, для которых определена $$\tg a$$, то есть при
$$\cos a\ne 0.$$
Значит,
$$a\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
Ответ
а) $$a\ne \pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
б) $$a\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$
