Упр.1184 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) ctg^2(?)-cos^2(?)=ctg^2(?)cos^2(?);
6) cos^2(?)(tg(?)+2)(2tg(?)+1)=5sin(?)cos(?)+2.
Для найденных углов ? докажите справедливость равенства.

а) Рассмотрим левую часть:

$$\ctg^2 a-\cos^2 a=\ctg^2 a\cdot \cos^2 a.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\ctg^2 a-\ctg^2 a\cdot \cos^2 a-\cos^2 a=0.$$

Так как $$\ctg^2 a=\dfrac{\cos^2 a}{\sin^2 a},$$ получаем

$$\dfrac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\sin^2 a-\cos^2 a=0,$$

то есть

$$\cos^2 a-\cos^2 a=0.$$

Равенство тождественно верно при всех значениях, для которых определены обе части. Здесь нужно, чтобы существовал $$\ctg a$$, то есть

$$\sin a\ne 0.$$

Следовательно,

$$a\ne \pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) Преобразуем левую часть:

$$\cos^2 a(\tg a+2)(2\tg a+1)=5\sin a\cos a+2.$$

Раскроем скобки:

$$\cos^2 a(2\tg^2 a+5\tg a+2)=5\sin a\cos a+2.$$

Подставим $$\tg a=\dfrac{\sin a}{\cos a}$$:

$$\cos^2 a\left(2\dfrac{\sin^2 a}{\cos^2 a}+5\dfrac{\sin a}{\cos a}+2\right)=5\sin a\cos a+2.$$

После умножения на $$\cos^2 a$$ получаем:

$$2\sin^2 a+5\sin a\cos a+2\cos^2 a=5\sin a\cos a+2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$2\sin^2 a+2\cos^2 a=2.$$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ то

$$2(\sin^2 a+\cos^2 a)=2,$$

$$2=2.$$

Равенство тождественно верно при всех значениях, для которых определена $$\tg a$$, то есть при

$$\cos a\ne 0.$$

Значит,

$$a\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$a\ne \pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

б) $$a\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$