Упр.1183 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Докажите справедливость равенства:
   а) $$\cos(2?)(\sin(?)+\sin(3?))=\sin(2?)(\cos(?)+\cos(3?))$$;
   б) $$(\sin(?)\cos(?)+\cos(?)\sin(?))^2+(\cos(?)\cos(?)-\sin(?)\sin(?))^2=1$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$\cos 2a(\sin a+\sin 3a)=\sin a\cos 2a+\sin 3a\cos 2a$$
$$=\frac12(\sin(-a)+\sin 3a)+\frac12(\sin a+\sin 5a)$$
$$=-\frac12\sin a+\frac12\sin 3a+\frac12\sin a+\frac12\sin 5a =\frac12(\sin 5a+\sin 3a).$$

Преобразуем правую часть:

$$\sin 2a(\cos a+\cos 3a)=\sin 2a\cos a+\sin 2a\cos 3a$$
$$=\frac12(\sin a+\sin 3a)+\frac12(\sin 5a+\sin(-a))$$
$$=\frac12\sin a+\frac12\sin 3a+\frac12\sin 5a-\frac12\sin a =\frac12(\sin 5a+\sin 3a).$$

Следовательно, левая и правая части равны.

б) Используем формулы сложения:

$$(\sin a\cos \beta+\cos a\sin \beta)^2+(\cos a\cos \beta-\sin a\sin \beta)^2$$
$$=\sin^2(a+\beta)+\cos^2(a+\beta)$$
$$=1.$$

Ответ

$$\text{а) равенство верно;}$$
$$\text{б) }1.$$