Упр.1182 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) sin(?)+sin(?)+sin(?)=4cos(?/2)cos(?/2)cos(?/2);
б) cos(?)+cos(?)+cos(?)=4sin(?/2)sin(?/2)sin(?/2)+1;
в) sin^2(?)+sin^2(?)+sin^2(?) > 2, где ? < 90°, ? < 90°, ? < 90°.

Подробный ответ

Пусть $$a, \beta, \gamma$$ — углы треугольника. Тогда

$$a+\beta+\gamma=\pi.$$

Докажем равенство
$$\sin a+\sin \beta+\sin \gamma=4\cos \frac a2 \cos \frac \beta2 \cos \frac \gamma2.$$
Преобразуем левую часть:
$$ \sin a+\sin \beta+\sin \gamma =(\sin a+\sin \beta)+\sin \gamma $$
$$ =2\sin \frac{a+\beta}{2}\cos \frac{a-\beta}{2}+\sin \gamma $$
$$ =2\sin \frac{a+\beta}{2}\cos \frac{a-\beta}{2}-2\sin \frac{a+\beta}{2}\cos \frac{2\gamma+a+\beta}{2} $$
$$ =2\sin \frac{a+\beta}{2}\left(\cos \frac{a-\beta}{2}-\cos \frac{a+\beta+2\gamma}{2}\right). $$
Так как $$a+\beta+\gamma=\pi,$$ то
$$ \frac{a+\beta+2\gamma}{2}=\frac{\pi+\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}+\frac{\gamma}{2}. $$
Используя формулу $$\cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2},$$ получаем
$$ \sin a+\sin \beta+\sin \gamma =4\sin \frac{a+\beta}{2}\sin \frac{a+\gamma}{2}\sin \frac{\beta+\gamma}{2}. $$
Но
$$ \frac{a+\beta}{2}=\frac{\pi-\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2},\quad \frac{a+\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2},\quad \frac{\beta+\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{a}{2}. $$
Значит,
$$ \sin a+\sin \beta+\sin \gamma =4\cos \frac a2 \cos \frac \beta2 \cos \frac \gamma2. $$
Докажем равенство
$$\cos a+\cos \beta+\cos \gamma=4\sin \frac a2 \sin \frac \beta2 \sin \frac \gamma2+1.$$
Преобразуем правую часть:
$$ 4\sin \frac a2 \sin \frac \beta2 \sin \frac \gamma2+1 =4\sin \frac a2 \sin \frac \beta2 \sin \frac{\pi-a-\beta}{2}+1. $$
Так как $$\sin \frac{\pi-a-\beta}{2}=\cos \frac{a+\beta}{2},$$ то
$$ 4\sin \frac a2 \sin \frac \beta2 \sin \frac \gamma2+1 =4\sin \frac a2 \sin \frac \beta2 \cos \frac{a+\beta}{2}+1. $$
Используем формулу $$2\sin x\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y):$$
$$ 4\sin \frac a2 \sin \frac \beta2 \cos \frac{a+\beta}{2} =2\left(\cos \frac{a-\beta}{2}-\cos \frac{a+\beta}{2}\right)\cos \frac{a+\beta}{2}. $$
Тогда
$$ 4\sin \frac a2 \sin \frac \beta2 \sin \frac \gamma2+1 =2\cos \frac{a-\beta}{2}\cos \frac{a+\beta}{2} -2\cos^2 \frac{a+\beta}{2}+1. $$
После преобразований с учетом $$a+\beta+\gamma=\pi$$ получаем
$$ 4\sin \frac a2 \sin \frac \beta2 \sin \frac \gamma2+1 =\cos a+\cos \beta+\cos \gamma. $$
Докажем неравенство
$$\sin^2 a+\sin^2 \beta+\sin^2 \gamma>2,$$
если $$a<90^\circ,\ \beta<90^\circ,\ \gamma<90^\circ.$$
Так как $$a+\beta+\gamma=\pi,$$ то
$$ \sin^2 a+\sin^2 \beta+\sin^2 \gamma =(1-\cos^2 a)+(1-\cos^2 \beta)+(1-\cos^2 \gamma) $$
$$ =3-(\cos^2 a+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma). $$
По формуле из пункта б) и так как все углы острые, имеем $$\cos a>0,\ \cos \beta>0,\ \cos \gamma>0.$$ Тогда
$$ \cos a+\cos \beta+\cos \gamma>1, $$
а значит
$$ \cos^2 a+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma<1. $$
Следовательно,
$$ \sin^2 a+\sin^2 \beta+\sin^2 \gamma =3-(\cos^2 a+\cos^2 \beta+\cos^2 \gamma)>2. $$