Упр.1181 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите справедливость равенства:

а) $$\sin(10^\circ)\cos(20^\circ)\cos(40^\circ)=\frac{1}{8}$$;

б) $$\cos(20^\circ)\cos(40^\circ)\cos(80^\circ)=\frac{1}{8}$$;

в) $$\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{1}{4}\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{5}\right)$$;

г) $$\sin(18^\circ)\cos(36^\circ)=\frac{1}{4}$$.

1. а) Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$\sin 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{2\cos 10^\circ} = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{4\cos 10^\circ \cos 20^\circ}$$

   $$= \frac{\sin 80^\circ}{8\sin 80^\circ} = \frac18.$$

2. б) Аналогично:

   $$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2\sin 20^\circ}$$

   $$= \frac{\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8\sin 160^\circ} = \frac18.$$

3. в) Преобразуем левую часть:

   $$\sin \frac{\pi}{5}\cos \frac{2\pi}{5} = \frac{\sin \frac{2\pi}{5}\cos \frac{2\pi}{5}}{2\cos \frac{\pi}{5}} = \frac{\sin \frac{4\pi}{5}}{4\cos \frac{\pi}{5}}.$$

   Так как $$\sin \frac{4\pi}{5}=\sin \frac{\pi}{5}$$ и $$\tg \frac{\pi}{5}=\frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}},$$ то

   $$\sin \frac{\pi}{5}\cos \frac{2\pi}{5} = \frac14 \tg \frac{\pi}{5}.$$

4. г) Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$\sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4\cos 18^\circ}.$$

   Так как $$\sin 72^\circ=\cos 18^\circ,$$ получаем

   $$\sin 18^\circ \cos 36^\circ=\frac14.$$

Ответ

а) $$\frac18$$; б) $$\frac18$$; в) $$\frac14 \tg \frac{\pi}{5}$$; г) $$\frac14$$.