Упр.1179 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Найдите $$\operatorname{tg}(?+?)$$ и $$\operatorname{tg}(?-?)$$, если $$\operatorname{tg}(?)=\frac{1}{2}$$, $$\sin(?)=0{,}8$$ и $$0

Так как $$0<\beta<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$\beta$$ лежит в первой четверти, значит $$\cos\beta>0.$$

Найдём косинус и тангенс угла $$\beta$$:

$$\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-0{,}8^2}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6,$$
$$\tg\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{0{,}8}{0{,}6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$

Теперь используем формулы сложения и вычитания тангенсов:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta} =\frac{\frac12+\frac43}{1-\frac12\cdot\frac43} =\frac{\frac{11}{6}}{1-\frac23} =\frac{\frac{11}{6}}{\frac13} =\frac{11}{2}=5{,}5,$$

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta} =\frac{\frac12-\frac43}{1+\frac12\cdot\frac43} =\frac{-\frac56}{1+\frac23} =\frac{-\frac56}{\frac53} =-\frac12=-0{,}5.$$

Ответ

$$\tg(\alpha+\beta)=5{,}5,\quad \tg(\alpha-\beta)=-0{,}5.$$