Упр.1179 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1179. Найдите tg(?+?) и tg(?-?), если tg(?)=1/2, sin(?)=0,8 и 0 < ? < ?/2.

Так как $$0<\beta<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$\beta$$ лежит в первой четверти, значит $$\cos\beta>0.$$

Найдём косинус и тангенс угла $$\beta$$:

$$ \cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-0{,}8^2}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6, $$
$$ \tg\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{0{,}8}{0{,}6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}. $$

Теперь используем формулы сложения и вычитания тангенсов:

$$ \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta} =\frac{\frac12+\frac43}{1-\frac12\cdot\frac43} =\frac{\frac{11}{6}}{1-\frac23} =\frac{\frac{11}{6}}{\frac13} =\frac{11}{2}=5{,}5, $$

$$ \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta} =\frac{\frac12-\frac43}{1+\frac12\cdot\frac43} =\frac{-\frac56}{1+\frac23} =\frac{-\frac56}{\frac53} =-\frac12=-0{,}5. $$

Ответ

$$\tg(\alpha+\beta)=5{,}5,\quad \tg(\alpha-\beta)=-0{,}5.$$