Упр.1178 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1178. Найдите tg(?+?) и tg(?-?), если sin(?)=0,6, cos(?)=-12/13 и ?/2 < ? < ?, ? < ? < 3?/2.

Подробный ответ

Так как $$\sin \alpha = 0{,}6=\frac{3}{5}$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то угол $$\alpha$$ лежит во II четверти, значит $$\cos \alpha<0.$$

Найдём косинус:

$$ \cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha} =-\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{9}{25}} =-\sqrt{\frac{16}{25}} =-\frac45. $$

Тогда

$$ \tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{3/5}{-4/5} =-\frac34. $$

Дано также, что $$\cos \beta=-\frac{12}{13}$$ и $$\pi<\beta<\frac{3\pi}{2},$$ значит угол $$\beta$$ лежит в III четверти, поэтому $$\sin \beta<0.$$

Найдём синус:

$$ \sin \beta=-\sqrt{1-\cos^2\beta} =-\sqrt{1-\left(-\frac{12}{13}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{144}{169}} =-\sqrt{\frac{25}{169}} =-\frac{5}{13}. $$

Тогда

$$ \tg \beta=\frac{\sin \beta}{\cos \beta} =\frac{-5/13}{-12/13} =\frac{5}{12}. $$

Теперь используем формулы:

$$ \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}. $$

Подставим значения:

$$ \tg(\alpha+\beta)= \frac{-\frac34+\frac{5}{12}}{1-\left(-\frac34\right)\cdot\frac{5}{12}} = \frac{-\frac{9}{12}+\frac{5}{12}}{1+\frac{15}{48}} = \frac{-\frac{4}{12}}{1+\frac{5}{16}} = \frac{-\frac13}{\frac{21}{16}} = -\frac{16}{63}. $$

$$ \tg(\alpha-\beta)= \frac{-\frac34-\frac{5}{12}}{1+\left(-\frac34\right)\cdot\frac{5}{12}} = \frac{-\frac{9}{12}-\frac{5}{12}}{1-\frac{15}{48}} = \frac{-\frac{14}{12}}{1-\frac{5}{16}} = \frac{-\frac76}{\frac{11}{16}} = -\frac{56}{33}. $$