Упр.1174 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) (cos(10)sin(7)-tg(10))/(cos(-v2)ctg(-4));
б) (sin(-3)cos(4)tg(-5))/ctg(6);
в) ((sin(3)cos(4)-sin(4)cos(3))(sin(3)cos(4)+sin(4)cos(3)))/((cos(3)cos(4)-sin(3)sin(4))(cos(3)cos(4)+sin(3)sin(4))).

Подробный ответ

а) Рассмотрим знак каждой функции:
$$3\pi<10<3{,}5\pi,\quad 2\pi<7<2{,}5\pi,\quad 0<\sqrt2<0{,}5\pi,\quad \pi<4<1{,}5\pi.$$
Тогда
$$\cos 10<0,\quad \sin 7>0,\quad \tg 10>0,\quad \cos\sqrt2>0,\quad \ctg 4>0.$$
Следовательно,
$$\frac{\cos 10\cdot \sin 7-\tg 10}{\cos(-\sqrt2)\cdot \ctg(-4)} = \frac{(-)\cdot(+)-(+)}{(+)\cdot(-)} = \frac{(-)}{(-)}=+.$$
Знак числа положительный.
б) Определим знаки функций:
$$0{,}5\pi<3<\pi,\quad \pi<4<1{,}5\pi,\quad 1{,}5\pi<5<2\pi,\quad 1{,}5\pi<6<2\pi.$$
Тогда
$$\sin 3>0,\quad \cos 4<0,\quad \tg 5<0,\quad \ctg 6<0.$$
Следовательно,
$$\frac{\sin(-3)\cdot \cos 4\cdot \tg(-5)}{\ctg 6} = \frac{(-\sin 3)\cdot(\cos 4)\cdot(-\tg 5)}{\ctg 6} = \frac{(+)\cdot(-)\cdot(+)}{(-)} = \frac{(-)}{(-)}=+?$$
Учитывая, что $$\sin(-3)=-\sin 3$$ и $$\tg(-5)=-\tg 5,$$ получаем:
$$(-)\cdot(-)\cdot(+)\,/\,(-)=(-).$$
Знак числа отрицательный.
в) Используем формулы:
$$ \sin a\cos b-\sin b\cos a=\sin(a-b),\qquad \sin a\cos b+\sin b\cos a=\sin(a+b), $$
$$ \cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos(a+b),\qquad \cos a\cos b+\sin a\sin b=\cos(a-b). $$
Тогда
$$ \frac{(\sin 3\cdot \cos 4-\sin 4\cdot \cos 3)(\sin 3\cdot \cos 4+\sin 4\cdot \cos 3)} {(\cos 3\cdot \cos 4-\sin 3\cdot \sin 4)(\cos 3\cdot \cos 4+\sin 3\cdot \sin 4)} = \frac{\sin(3-4)\cdot \sin(3+4)}{\cos(3+4)\cdot \cos(4-3)}. $$
То есть
$$ \frac{\sin(-1)\cdot \sin 7}{\cos 7\cdot \cos 1} = -\tg 1\cdot \tg 7. $$
$$0<1<0{,}5\pi,\quad 2\pi<7<2{,}5\pi,$$
поэтому
$$\tg 1>0,\quad \tg 7>0.$$
Следовательно,
$$-\tg 1\cdot \tg 7<0.$$
Знак числа отрицательный.