Упр.1156 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) сумма всех членов прогрессии в 4 раза больше суммы её членов, стоящих на нечётных местах;
б) сумма всех членов прогрессии, стоящих на чётных местах, в 2 раза больше суммы её членов, стоящих на нечётных местах.

Подробный ответ

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Так как число членов чётное, то члены с нечётными и чётными номерами можно записать отдельно.

а) Сумма всех членов в 4 раза больше суммы членов, стоящих на нечётных местах:

$$ b_1+b_2+\cdots+b_n=4(b_1+b_3+\cdots+b_{n-1}) $$
$$ b_1+b_1q+\cdots+b_1q^{n-1}=4(b_1+b_1q^2+\cdots+b_1q^{n-2}) $$
$$ b_1(1+q+\cdots+q^{n-1})=4b_1(1+q^2+\cdots+q^{n-2}) $$

Так как $$b_1\neq 0$$, получаем:

$$ 1+q+\cdots+q^{n-1}=4(1+q^2+\cdots+q^{n-2}) $$

Перенесём суммы с одинаковыми степенями:

$$ (q+q^3+\cdots+q^{n-1})+(1+q^2+\cdots+q^{n-2})=4(1+q^2+\cdots+q^{n-2}) $$
$$ q(1+q^2+\cdots+q^{n-2})=3(1+q^2+\cdots+q^{n-2}) $$

Следовательно,

$$ q=3 $$

б) Сумма членов на чётных местах в 2 раза больше суммы членов на нечётных местах:

$$ b_2+b_4+\cdots+b_n=2(b_1+b_3+\cdots+b_{n-1}) $$
$$ b_1q+b_1q^3+\cdots+b_1q^{n-1}=2(b_1+b_1q^2+\cdots+b_1q^{n-2}) $$
$$ b_1(q+q^3+\cdots+q^{n-1})=2b_1(1+q^2+\cdots+q^{n-2}) $$

Сокращаем на $$b_1$$:

$$ q(1+q^2+\cdots+q^{n-2})=2(1+q^2+\cdots+q^{n-2}) $$

Отсюда

$$ q=2 $$