Упр.1154 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1154. Сумма трёх чисел, образующих конечную арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 14/9. Найдите эти числа.

Пусть три числа арифметической прогрессии равны $$a_1,\ a_2,\ a_3.$$ Тогда

$$a_1+a_2+a_3=2,$$

$$a_1^2+a_2^2+a_3^2=\frac{14}{9}.$$

Так как это арифметическая прогрессия, то средний член равен полусумме крайних:

$$2a_2=a_1+a_3.$$

Из первого уравнения получаем

$$a_1+a_3=2-a_2.$$

Сравнивая, имеем

$$2a_2=2-a_2,$$

$$3a_2=2,$$

$$a_2=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$a_1+a_3=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.$$

Пусть $$a_1=x,$$ тогда $$a_3=\frac{4}{3}-x.$$ Подставим во второе уравнение:

$$x^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{4}{3}-x\right)^2=\frac{14}{9}.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+\frac{4}{9}+\frac{16}{9}-\frac{8x}{3}+x^2=\frac{14}{9},$$

$$2x^2-\frac{8x}{3}+\frac{6}{9}=0,$$

$$2x^2-\frac{8x}{3}+\frac{2}{3}=0.$$

Умножим на $$3$$:

$$6x^2-8x+2=0,$$

$$3x^2-4x+1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4.$$

Тогда

$$x=\frac{4\pm 2}{2\cdot 3}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{1}{3},\qquad x_2=1.$$

Следовательно, возможны два набора чисел:

$$\frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ 1$$

и

$$1,\ \frac{2}{3},\ \frac{1}{3}.$$

Ответ

$$\frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ 1$$