Упр.1153 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Найдите все числа $$x$$, удовлетворяющие следующему условию: $$1+7+13+\ldots+x=280$$.

Последовательность $$1, 7, 13, \dots, x$$ — арифметическая прогрессия, где

$$a_1=1,\quad d=7-1=6.$$

Пусть в сумме участвует $$n$$ членов. Тогда

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

По условию:

$$\frac{2\cdot 1+6(n-1)}{2}\cdot n=280.$$

Упростим:

$$2+6n-6= \,6n-4,$$

$$\frac{6n-4}{2}\cdot n=280,$$

$$n(3n-2)=280,$$

$$3n^2-2n-280=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-280)=4+3360=3364,$$

$$\sqrt{D}=58.$$

Тогда

$$n=\frac{2\pm 58}{6}.$$

Получаем:

$$n_1=\frac{60}{6}=10,\qquad n_2=\frac{-56}{6}=-\frac{28}{3}.$$

Отрицательное значение не подходит, значит $$n=10.$$

Искомое число — десятый член прогрессии:

$$a_{10}=a_1+9d=1+9\cdot 6=55.$$

Ответ

$$55$$