Упр.1152 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1152. Найдите n — число членов конечной геометрической прогрессии b_1, b_2, …, b_n, если известно, что b_1+b_5=51, b_2+b_6=102, S_n=3069.

Пусть знаменатель геометрической прогрессии равен $$q$$, а первый член — $$b_1$$. Тогда

$$b_5=b_1q^4,\qquad b_6=b_1q^5.$$

Из условия получаем систему:

$$ b_1+b_1q^4=51, $$
$$ b_1q+b_1q^5=102. $$

Вынесем общий множитель:

$$ b_1(1+q^4)=51, $$
$$ b_1q(1+q^4)=102. $$

Разделим второе уравнение на первое:

$$ q=\frac{102}{51}=2. $$

Тогда

$$ b_1(1+2^4)=51, $$
$$ b_1\cdot 17=51, $$
$$ b_1=3. $$

Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$ S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}. $$

Подставим найденные значения:

$$ 3069=\frac{3(2^n-1)}{2-1}=3(2^n-1). $$

$$ 2^n-1=1023, $$
$$ 2^n=1024=2^{10}. $$

Следовательно, $$n=10$$.

Ответ

$$10$$