Упр.1151 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1151. Найдите три числа b_1, b_2, b_3, образующие конечную арифметическую прогрессию, если известно, что их сумма равна 30, а числа b_1-5, b_2-4, b_3 образуют конечную геометрическую прогрессию.

Пусть $$b_1, b_2, b_3$$ — члены арифметической прогрессии. Тогда

$$b_1+b_2+b_3=30.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен полусумме крайних:

$$2b_2=b_1+b_3.$$

Из суммы получаем:

$$b_1+b_3=30-b_2.$$

Тогда

$$2b_2=30-b_2,$$

$$3b_2=30,$$

$$b_2=10.$$

Теперь используем условие геометрической прогрессии для чисел $$b_1-5,\; b_2-4,\; b_3$$:

$$\frac{b_2-4}{b_1-5}=\frac{b_3}{b_2-4}.$$

Подставим $$b_2=10$$:

$$\frac{6}{b_1-5}=\frac{b_3}{6},$$

откуда

$$36=b_3(b_1-5).$$

Из суммы $$b_1+b_3=20$$, значит

$$b_3=20-b_1.$$

Подставим в уравнение:

$$36=(20-b_1)(b_1-5).$$

Раскроем скобки:

$$36=20b_1-100-b_1^2+5b_1,$$

$$b_1^2-25b_1+136=0.$$

Найдём корни:

$$D=25^2-4\cdot 136=625-544=81,$$

$$b_1=\frac{25-9}{2}=8 \quad \text{или} \quad b_1=\frac{25+9}{2}=17.$$

Тогда

$$b_3=20-b_1,$$

и получаем:

при $$b_1=8$$: $$b_3=12$$;

при $$b_1=17$$: $$b_3=3$$.

Проверка показывает, что оба набора удовлетворяют условиям.

Ответ

$$8,\ 10,\ 12$$ или $$17,\ 10,\ 3$$.