Упр.1151 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- Найдите три числа $$b_1$$, $$b_2$$, $$b_3$$, образующие конечную арифметическую прогрессию, если известно, что их сумма равна $$30$$, а числа $$b_1-5$$, $$b_2-4$$, $$b_3$$ образуют конечную геометрическую прогрессию.
Пусть $$b_1, b_2, b_3$$ — члены арифметической прогрессии. Тогда
$$b_1+b_2+b_3=30.$$
Для арифметической прогрессии средний член равен полусумме крайних:
$$2b_2=b_1+b_3.$$
Из суммы получаем:
$$b_1+b_3=30-b_2.$$
Тогда
$$2b_2=30-b_2,$$
$$3b_2=30,$$
$$b_2=10.$$
Теперь используем условие геометрической прогрессии для чисел $$b_1-5,\; b_2-4,\; b_3$$:
$$\frac{b_2-4}{b_1-5}=\frac{b_3}{b_2-4}.$$
Подставим $$b_2=10$$:
$$\frac{6}{b_1-5}=\frac{b_3}{6},$$
откуда
$$36=b_3(b_1-5).$$
Из суммы $$b_1+b_3=20$$, значит
$$b_3=20-b_1.$$
Подставим в уравнение:
$$36=(20-b_1)(b_1-5).$$
Раскроем скобки:
$$36=20b_1-100-b_1^2+5b_1,$$
$$b_1^2-25b_1+136=0.$$
Найдём корни:
$$D=25^2-4\cdot 136=625-544=81,$$
$$b_1=\frac{25-9}{2}=8 \quad \text{или} \quad b_1=\frac{25+9}{2}=17.$$
Тогда
$$b_3=20-b_1,$$
и получаем:
при $$b_1=8$$: $$b_3=12$$;
при $$b_1=17$$: $$b_3=3$$.
Проверка показывает, что оба набора удовлетворяют условиям.
Ответ
$$8,\ 10,\ 12$$ или $$17,\ 10,\ 3$$.
