Упр.1150 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1150. Найдите четыре числа b_1, b_2, b_3, b_4, если известно, что числа b_2, b_3, b_4 образуют конечную геометрическую прогрессию, а числа b_1, b_2, b_3 образуют конечную арифметическую прогрессию и b_1+b_4=37, b_2+b_3=36.

Пусть $$b_1,\; b_2,\; b_3$$ — члены арифметической прогрессии с разностью $$d$$. Тогда

$$b_2=b_1+d,\qquad b_3=b_1+2d.$$

Из условия $$b_2+b_3=36$$ получаем:

$$ (b_1+d)+(b_1+2d)=36, $$

$$ 2b_1+3d=36. $$

Так как $$b_2,\; b_3,\; b_4$$ — геометрическая прогрессия, то

$$q=\frac{b_3}{b_2},\qquad b_4=b_3q=\frac{b_3^2}{b_2}.$$

Из условия $$b_1+b_4=37$$ имеем:

$$b_1+\frac{b_3^2}{b_2}=37.$$

Подставим $$b_2=b_1+d,\; b_3=b_1+2d$$:

$$b_1+\frac{(b_1+2d)^2}{b_1+d}=37.$$

Умножим на $$b_1+d$$:

$$b_1(b_1+d)+(b_1+2d)^2=37(b_1+d).$$

Раскроем скобки:

$$b_1^2+b_1d+b_1^2+4b_1d+4d^2=37b_1+37d,$$

$$2b_1^2+5b_1d+4d^2-37b_1-37d=0.$$

Из равенства $$2b_1+3d=36$$ получаем $$2b_1=36-3d$$, то есть $$b_1=\frac{36-3d}{2}.$$ Подставим это в полученное уравнение. После упрощения получаем:

$$2d^2+d-36=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+288=289,$$

$$d_{1,2}=\frac{-1\pm 17}{4}.$$

Отсюда

$$d_1=-\frac{9}{2},\qquad d_2=4.$$

Теперь найдём числа.

1) Если $$d=-\frac{9}{2}$$, то

$$b_1=d(d-1)=\frac{99}{4},\qquad b_2=d^2=\frac{81}{4},\qquad b_3=d(d+1)=\frac{63}{4},$$

$$b_4=b_3\left(1+\frac{1}{d}\right)=\frac{49}{4}.$$

2) Если $$d=4$$, то

$$b_1=4\cdot 3=12,\qquad b_2=4^2=16,\qquad b_3=4\cdot 5=20,$$

$$b_4=20\left(1+\frac14\right)=25.$$

Ответ

$$\left(\frac{99}{4},\frac{81}{4},\frac{63}{4},\frac{49}{4}\right)$$ или $$\left(12,16,20,25\right).$$