Упр.1149 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $$b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots$$, если известно, что:
   а) $$b_1+b_4=\frac{7}{16},\quad b_3-b_2+b_1=\frac{7}{8}$$;
   б) $$b_2-b_1=2,\quad b_3-b_1=8$$.

1. а) Для геометрической прогрессии $$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

   Из условия получаем систему:

   $$\begin{cases} b_1+b_1q^3=\dfrac{7}{16},\\ b_1q^2-b_1q+b_1=\dfrac{7}{8}. \end{cases}$$

   Вынесем $$b_1$$ за скобки:

   $$\begin{cases} b_1(1+q^3)=\dfrac{7}{16},\\ b_1(q^2-q+1)=\dfrac{7}{8}. \end{cases}$$

   Разделим второе уравнение на первое:

   $$\frac{q^2-q+1}{1+q^3}=2.$$

   Так как $$1+q^3=(q+1)(q^2-q+1),$$ то

   $$\frac{q^2-q+1}{(q+1)(q^2-q+1)}=2,$$
   $$\frac{1}{q+1}=2,$$
   $$q+1=\frac12,\qquad q=-\frac12.$$

   Теперь найдём $$b_1$$:

   $$b_1(1+q^3)=\frac{7}{16},$$
   $$b_1\left(1+\left(-\frac12\right)^3\right)=\frac{7}{16},$$
   $$b_1\cdot \frac78=\frac{7}{16},$$
   $$b_1=\frac12.$$

2. б) Имеем:

   $$b_2-b_1=2,\qquad b_3-b_1=8.$$

   Так как $$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,$$ то

   $$b_1(q-1)=2,$$
   $$b_1(q^2-1)=8.$$

   Разделим второе уравнение на первое:

   $$\frac{q^2-1}{q-1}=4.$$

   Разложим на множители:

   $$\frac{(q-1)(q+1)}{q-1}=4,$$
   $$q+1=4,$$
   $$q=3.$$

   Тогда

   $$b_1(q-1)=2,$$
   $$b_1\cdot 2=2,$$
   $$b_1=1.$$

Ответ

а) $$b_1=\frac12,\ q=-\frac12;$$
б) $$b_1=1,\ q=3.$$