Упр.1148 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) a_1+b_1, a_2+b_2, …, a_n+b_n, …;
б) a_1-b_1, a_2-b_2, …, a_n-b_n, …;
в) a_1·b_1, a_2·b_2, …, a_n·b_n, …;
г) a_1/b_1, a_2/b_2, …, a_n/b_n, … (все b_i?0)?

1. а) Рассмотрим последовательность $$c_n=a_n+b_n.$$

   Тогда

   $$ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{a_n+b_n} =\frac{a_n q_a+b_n q_b}{a_n+b_n}. $$

   Это отношение вообще не является постоянным, значит, последовательность не обязана быть геометрической.

   Ответ: нет.

2. б) Рассмотрим последовательность $$c_n=a_n-b_n.$$

   Тогда

   $$ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{a_{n+1}-b_{n+1}}{a_n-b_n} =\frac{a_n q_a-b_n q_b}{a_n-b_n}. $$

   Это отношение также не является постоянным в общем случае.

   Ответ: нет.

3. в) Рассмотрим последовательность $$c_n=a_n b_n.$$

   Тогда

   $$ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_n b_n} =\frac{a_n q_a \cdot b_n q_b}{a_n b_n} =q_a q_b. $$

   Значит, отношение соседних членов постоянно, следовательно, это геометрическая прогрессия.

   Ответ: да.

4. г) Рассмотрим последовательность $$c_n=\frac{a_n}{b_n}$$, где $$b_n\ne 0.$$

   Тогда

   $$ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{a_{n+1}/b_{n+1}}{a_n/b_n} =\frac{a_n q_a}{b_n q_b}\cdot\frac{b_n}{a_n} =\frac{q_a}{q_b}. $$

   Это постоянное отношение, значит, последовательность является геометрической прогрессией.

   Ответ: да.

Ответ

а) нет; б) нет; в) да; г) да.