Упр.1144 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1144. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 28, сумма следующих трёх членов равна 3,5. Найдите восьмой член прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, а $$q$$ — её знаменатель.

Тогда

$$b_1+b_2+b_3=28,$$

$$b_4+b_5+b_6=3{,}5.$$

Запишем члены прогрессии через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4,\quad b_6=b_1q^5.$$

Из первого равенства получаем:

$$b_1+b_1q+b_1q^2=28,$$

$$b_1(1+q+q^2)=28,$$

$$b_1=\frac{28}{1+q+q^2}.$$

Подставим это во второе равенство:

$$b_1q^3+b_1q^4+b_1q^5=3{,}5,$$

$$b_1(1+q+q^2)q^3=3{,}5,$$

$$28q^3=3{,}5,$$

$$q^3=\frac{3{,}5}{28}=\frac{1}{8},$$

$$q=\frac{1}{2}.$$

Теперь найдём $$b_1$$:

$$b_1=\frac{28}{1+\frac12+\left(\frac12\right)^2}=\frac{28}{1+\frac12+\frac14}=\frac{28}{\frac74}=16.$$

Восьмой член прогрессии:

$$b_8=b_1q^7=16\cdot\left(\frac12\right)^7=16\cdot\frac{1}{128}=\frac18=0{,}125.$$

Ответ

$$0{,}125$$