Упр.1143 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1143. Запишите первые восемь членов геометрической прогрессии, в которой произведение первых двух членов равно 1/3, а произведение первого и пятого членов равно 1/64.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, а $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_5=b_1q^4.$$

По условию:

$$b_1b_2=\frac13,\qquad b_1b_5=\frac1{64}.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1^2q=\frac13,$$

$$b_1^2q^4=\frac1{64}.$$

Разделим второе равенство на первое:

$$q^3=\frac{1/64}{1/3}=\frac3{64},$$

откуда

$$q=\sqrt[3]{\frac3{64}}=\frac{\sqrt[3]{3}}{4}.$$

Теперь найдём $$b_1^2$$:

$$b_1^2=\frac{1}{3q}=\frac{1}{3\cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{4}}=\frac{4}{3\sqrt[3]{3}}=\frac{4\sqrt[3]{9}}{9}.$$

Значит,

$$b_1=\pm \frac{2}{\sqrt[3]{9}}.$$

Далее последовательно находим первые восемь членов:

$$ \begin{aligned} b_1&=\pm \frac{2}{\sqrt[3]{9}},\\ b_2&=b_1q=\pm \frac{1}{2\sqrt[3]{3}},\\ b_3&=b_2q=\pm \frac18,\\ b_4&=b_3q=\pm \frac{\sqrt[3]{3}}{32},\\ b_5&=b_4q=\pm \frac{\sqrt[3]{9}}{128},\\ b_6&=b_5q=\pm \frac{3}{512},\\ b_7&=b_6q=\pm \frac{3\sqrt[3]{3}}{2048},\\ b_8&=b_7q=\pm \frac{3\sqrt[3]{9}}{8192}. \end{aligned} $$

Ответ

$$\pm \frac{2}{\sqrt[3]{9}},\ \pm \frac{1}{2\sqrt[3]{3}},\ \pm \frac18,\ \pm \frac{\sqrt[3]{3}}{32},\ \pm \frac{\sqrt[3]{9}}{128},\ \pm \frac{3}{512},\ \pm \frac{3\sqrt[3]{3}}{2048},\ \pm \frac{3\sqrt[3]{9}}{8192}.$$