Упр.1141 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1141. В геометрической прогрессии седьмой член равен 27, десятый член равен 729. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_7=b_1q^6=27,\qquad b_{10}=b_1q^9=729.$$

Разделим второе равенство на первое:

$$\frac{b_{10}}{b_7}=\frac{b_1q^9}{b_1q^6}=q^3,$$

откуда

$$q^3=\frac{729}{27}=27,\qquad q=3.$$

Найдём первый член:

$$b_1=\frac{27}{3^6}=\frac{27}{729}=\frac{1}{27}.$$

Теперь вычислим сумму первых десяти членов:

$$S_{10}=\frac{b_1(q^{10}-1)}{q-1}=\frac{\frac{1}{27}(3^{10}-1)}{3-1}.$$

Так как $$3^{10}=59049,$$ получаем

$$S_{10}=\frac{1}{27}\cdot\frac{59049-1}{2}=\frac{59048}{54}=\frac{29524}{27}=1093\frac{13}{27}.$$

Ответ

$$1093\frac{13}{27}$$