Упр.1140 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1140. Двенадцатый член геометрической прогрессии равен 1536, четвёртый член равен 6. Найдите сумму первых одиннадцати членов этой прогрессии.

Для геометрической прогрессии имеем:

$$b_{12}=b_1q^{11}, \qquad b_4=b_1q^3.$$

Разделим первое равенство на второе:

$$\frac{b_{12}}{b_4}=q^8,$$

$$q^8=\frac{1536}{6}=256,$$

$$q=\pm 2.$$

Найдём первый член:

$$b_1=\frac{b_4}{q^3}.$$

Если $$q=2,$$ то

$$b_1=\frac{6}{2^3}=\frac{3}{4}.$$

Если $$q=-2,$$ то

$$b_1=\frac{6}{(-2)^3}=-\frac{3}{4}.$$

Теперь найдём сумму первых 11 членов по формуле

$$S_{11}=\frac{b_1(q^{11}-1)}{q-1}.$$

1) При $$q=2$$ и $$b_1=\frac{3}{4}:$$

$$S_{11}=\frac{\frac{3}{4}(2^{11}-1)}{2-1}=\frac{3}{4}(2048-1)=\frac{3}{4}\cdot 2047=1535{,}25.$$

2) При $$q=-2$$ и $$b_1=-\frac{3}{4}:$$

$$S_{11}=\frac{-\frac{3}{4}\bigl((-2)^{11}-1\bigr)}{-2-1}=\frac{-\frac{3}{4}(-2048-1)}{-3}=-512{,}25.$$

Ответ

$$1535{,}25;\ -512{,}25.$$