Упр.1139 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1139. Первый член конечной геометрической прогрессии равен 1, последний равен 64, сумма всех членов равна 127. Найдите число членов прогрессии.

Пусть знаменатель геометрической прогрессии равен $$q$$, а число её членов — $$n$$.

Тогда по формуле последнего члена:

$$b_n=b_1q^{n-1}$$

$$64=1\cdot q^{n-1},$$

то есть

$$q^{n-1}=64.$$

Сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии равна

$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Подставим данные:

$$\frac{1\cdot(q^n-1)}{q-1}=127.$$

Так как $$q^{n-1}=64,$$ то $$q^n=64q.$$ Тогда

$$\frac{64q-1}{q-1}=127.$$

Решим уравнение:

$$64q-1=127(q-1)$$

$$64q-1=127q-127$$

$$63q=126$$

$$q=2.$$

Теперь найдём $$n$$ из равенства

$$2^{\,n-1}=64.$$

Так как $$64=2^6,$$ получаем

$$n-1=6,$$

$$n=7.$$

Ответ

$$7$$