Упр.1137 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1137. Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из шести членов, равен 768, последний член прогрессии меньше четвёртого в 16 раз. Найдите сумму всех членов прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 nikol9 1137 95

Пусть $$b_1=768$$, $$n=6$$, а знаменатель геометрической прогрессии равен $$q$$.

По условию последний член в 16 раз меньше четвёртого, значит

$$b_6=\frac{b_4}{16}.$$

Так как $$b_4=b_1q^3$$, а $$b_6=b_1q^5$$, получаем

$$b_1q^5=\frac{b_1q^3}{16}.$$

Сократим на $$b_1q^3$$:

$$q^2=\frac{1}{16}, \qquad q=\pm \frac14.$$

Найдём сумму шести членов прогрессии по формуле

$$S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}.$$

1) Если $$q=-\frac14$$, то

$$ S_6=\frac{768\left(\left(-\frac14\right)^6-1\right)}{-\frac14-1} =\frac{768\left(\frac{1}{4096}-1\right)}{-\frac54} =614\frac14. $$

2) Если $$q=\frac14$$, то

$$ S_6=\frac{768\left(\left(\frac14\right)^6-1\right)}{\frac14-1} =\frac{768\left(\frac{1}{4096}-1\right)}{-\frac34} =1023\frac34. $$

Ответ

$$614\frac14;\ 1023\frac34.$$