Упр.1135 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1135. Найдите последний член конечной геометрической прогрессии, если известно, что сумма первых двух членов равна 4, разность этих же членов равна 2, число членов прогрессии равно 8.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, а $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q.$$

По условию:

$$b_1+b_2=4,$$

$$b_2-b_1=2.$$

Подставим $$b_2=b_1q$$:

$$b_1+b_1q=4,$$

$$b_1(q-1)=2.$$

Из первого уравнения:

$$b_1(1+q)=4,$$

$$b_1=\frac{4}{1+q}.$$

Из второго уравнения:

$$b_1=\frac{2}{q-1}.$$

Приравняем выражения для $$b_1$$:

$$\frac{4}{1+q}=\frac{2}{q-1}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$4(q-1)=2(1+q),$$

$$4q-4=2+2q,$$

$$2q=6,$$

$$q=3.$$

Тогда

$$b_1=\frac{2}{q-1}=\frac{2}{3-1}=1.$$

Найдём восьмой член прогрессии:

$$b_8=b_1q^7=1\cdot 3^7=2187.$$

Ответ

$$2187$$