Упр.1125 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ и числа $$\frac{1}{a}$$, $$\frac{1}{b}$$, $$\frac{1}{c}$$ являются последовательными членами арифметических прогрессий. Докажите, что $$a=b=c$$.

Так как числа $$a, b, c$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то

$$b-a=c-b,$$

откуда

$$c=2b-a.$$

А числа $$\frac1a, \frac1b, \frac1c$$ тоже являются последовательными членами арифметической прогрессии, значит,

$$\frac1b-\frac1a=\frac1c-\frac1b.$$

Преобразуем:

$$\frac{a-b}{ab}=\frac{b-c}{bc}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$c(a-b)=b(b-c).$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$ac-cb=b^2-bc,$$

$$ac=b^2.$$

Теперь подставим $$c=2b-a$$:

$$b^2=a(2b-a),$$

$$b^2=2ab-a^2,$$

$$a^2-2ab+b^2=0,$$

$$\left(a-b\right)^2=0.$$

Следовательно,

$$a=b.$$

Тогда из формулы $$c=2b-a$$ получаем:

$$c=2b-b=b.$$

Значит,

$$a=b=c.$$

Ответ

$$a=b=c.$$