Упр.1124 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1124. Докажите, что если числа 1/(b+c), 1/(c+a), 1/(b+a) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа a^2, b^2, c^2 также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Так как числа $$\frac{1}{b+c},\ \frac{1}{c+a},\ \frac{1}{b+a}$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то их разности равны:

$$ \frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c} = \frac{1}{b+a}-\frac{1}{c+a}. $$

Вычислим разности:

$$ \frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c} = \frac{(b+c)-(c+a)}{(c+a)(b+c)} = \frac{b-a}{(c+a)(b+c)}, $$

$$ \frac{1}{b+a}-\frac{1}{c+a} = \frac{(c+a)-(b+a)}{(b+a)(c+a)} = \frac{c-b}{(b+a)(c+a)}. $$

Приравниваем:

$$ \frac{b-a}{(c+a)(b+c)}=\frac{c-b}{(b+a)(c+a)}. $$

Сократим на $$c+a$$:

$$ \frac{b-a}{b+c}=\frac{c-b}{b+a}. $$

Перемножим крест-накрест:

$$ (b-a)(b+a)=(c-b)(b+c). $$

Раскроем скобки:

$$ b^2-a^2=c^2-b^2. $$

Перенесём слагаемые:

$$ a^2+c^2=2b^2. $$

Значит, числа $$a^2,\ b^2,\ c^2$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ

$$a^2,\ b^2,\ c^2$$ — последовательные члены арифметической прогрессии.