Упр.1123 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) a_1+b_1, a_2+b_2, …, a_n+b_n, …;
б) a_1-b_1, a_2-b_2, …, a_n-b_n, …;
в) a_1·b_1, a_2·b_2, …, a_n·b_n, …;
г) |a_1|, |a_2|, …, |a_n|, …;
д) a_1/b_1, a_2/b_2, …, a_n/b_n, … (все b_i?0)?

Подробный ответ

Пусть $$a_n=a_1+(n-1)d_a,$$ $$b_n=b_1+(n-1)d_b.$$
а) Рассмотрим последовательность $$c_n=a_n+b_n.$$ Тогда
$$c_{n+1}-c_n=(a_{n+1}+b_{n+1})-(a_n+b_n)=(a_{n+1}-a_n)+(b_{n+1}-b_n)=d_a+d_b.$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
Да.
б) Рассмотрим последовательность $$c_n=a_n-b_n.$$ Тогда
$$c_{n+1}-c_n=(a_{n+1}-b_{n+1})-(a_n-b_n)=(a_{n+1}-a_n)-(b_{n+1}-b_n)=d_a-d_b.$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
Да.
в) Для последовательности $$c_n=a_n b_n$$ имеем
$$c_{n+1}-c_n=a_{n+1}b_{n+1}-a_n b_n=(a_n+d_a)(b_n+d_b)-a_n b_n$$
$$=a_n d_b+b_n d_a+d_a d_b.$$
Эта разность вообще не является постоянной, значит, в общем случае последовательность не арифметическая.
Нет.
г) Для последовательности $$c_n=|a_n|$$ разность
$$c_{n+1}-c_n=|a_{n+1}|-|a_n|$$
вообще не постоянна. Арифметической она будет только в частном случае, если все числа $$a_n$$ одного знака.
Нет.
д) Для последовательности $$c_n=\dfrac{a_n}{b_n}$$, где $$b_n\ne 0,$$ получаем
$$c_{n+1}-c_n=\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}-\frac{a_n}{b_n}=\frac{(a_n+d_a)(b_n+d_b)-a_n b_n}{b_n(b_n+d_b)}$$
$$=\frac{a_n d_b+b_n d_a+d_a d_b}{b_n(b_n+d_b)}.$$
Эта разность не является постоянной в общем случае, значит, последовательность не арифметическая.
Нет.