Упр.112 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения $$m$$, при каждом из которых неравенство верно при любом значении $$x$$:
   а) $$2x^2-x+m>0$$;
   б) $$3x^2+2x+m>0$$.

Чтобы неравенство $$ax^2+bx+m>0$$ выполнялось при любом значении $$x$$, парабола должна быть направлена вверх, а её график не должен пересекать ось $$Ox$$. Так как старший коэффициент положителен, достаточно потребовать

$$D<0.$$

1. $$2x^2-x+m>0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot m=1-8m.$$

   Требуем:

   $$1-8m<0,$$

   $$8m>1,$$

   $$m>\frac18.$$

2. $$3x^2+2x+m>0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=2^2-4\cdot 3\cdot m=4-12m.$$

   Требуем:

   $$4-12m<0,$$

   $$12m>4,$$

   $$m>\frac13.$$

Ответ

а) $$m\in\left(\frac18;+\infty\right)$$; б) $$m\in\left(\frac13;+\infty\right)$$.