Упр.1105 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) x/(x-1)-2/(x+1) < 8/(x^2-1); б) 4/(x+1)-x/(x-1) > 3/(x^2-1).

а) Область допустимых значений: $$x \ne -1,\; x \ne 1.$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{x}{x-1}-\frac{2}{x+1}<\frac{8}{x^2-1} $$

$$ \frac{x(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{8}{x^2-1}<0 $$

$$ \frac{x^2+x-2x+2-8}{x^2-1}<0 $$

$$ \frac{x^2-x-6}{x^2-1}<0 $$

Разложим на множители:

$$ \frac{(x+2)(x-3)}{(x-1)(x+1)}<0 $$

Критические точки: $$x=-2,\,-1,\,1,\,3.$$

Исследуем знак дроби. Получаем:

$$ x\in(-2;-1)\cup(1;3). $$

б) Область допустимых значений: $$x \ne -1,\; x \ne 1.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{4}{x+1}-\frac{x}{x-1}>\frac{3}{x^2-1} $$

$$ \frac{4(x-1)-x(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{3}{x^2-1}>0 $$

$$ \frac{4x-4-x^2-x-3}{x^2-1}>0 $$

$$ \frac{-x^2+3x-7}{x^2-1}>0 $$

Умножим числитель на $$-1$$, изменив знак неравенства:

$$ \frac{x^2-3x+7}{x^2-1}<0 $$

Для числителя:

$$ D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 7=9-28=-19<0, $$

значит $$x^2-3x+7>0$$ при всех $$x.$$

Тогда неравенство выполняется, когда

$$ x^2-1<0, $$

то есть

$$ -1<x<1. $$

Ответ

а) $$x\in(-2;-1)\cup(1;3)$$; б) $$x\in(-1;1)$$.